1.7. Упражнения
1. Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных следующими матрицами:
1.1.
. 1.2.
.
2. Найти оптимальные стратегии и цену игр, заданных платежными матрицами:
2.1.
. 2.2.
. 2.3.
.
2.4.
. 2.5.
.
3. Для приведенных ниже платежных матриц вычислить верхнюю и нижнюю цены игры, найти максиминные и минимаксные стратегии, выявить наличие седловых точек. При наличии седловых точек выписать цену игры и оптимальные решения.
3.1. 
. 3.2. 
.
3.3. 
. 3.4. 
.
3.5.
.
4. Для приведенных ниже платежных матриц матричных игр выявить доминирующие строки, доминирующие столбцы и найти для упрощенных матриц α и β. В случае равенства α = β выписать цену игры и оптимальные стратегии не только для упрощенных, но и для исходных матриц.
4.1.
.
4.2.
. 4.3.
.
2. Элементы теории массового обслуживания
Теория систем массового обслуживания (СМО) начала развиваться в начале XX столетия. Иохансен в 1907 г. сформулировал основные предпосылки новой теории. В 1909 г. шведский математик Эрланг применил теорию вероятностей к исследованию зависимости обслуживания телефонных вызовов от числа поступающих на телефонную станцию вызовов. В нашей стране известный математик А.Я. Хинчин систематизировал основные положения СМО в монографии «Теория очередей». Именно такое название теории СМО используется за рубежом.
В последние годы применение теории СМО в экономике приобрело особую актуальность в связи с использованием ряда ее аспектов в финансово-экономической сфере (банки различных типов, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы). Теория СМО широко применяется также в сфере обслуживания (различные системы связи, АЗС, магазины, ремонтные предприятия и т.д.) и в современных высоких технологиях (компьютерные сети, базы данных, военные системы ПВО).
2.1. Структура и классификация систем массового обслуживания
СМО представляют собой системы специфического вида. Системой называется целостное множество взаимосвязанных элементов, которые нельзя разделить на независимые подмножества. Основой СМО является определенное число обслуживающих устройств – каналы обслуживания. Роль каналов в реальности могут выполнять приборы, операторы, продавцы и пр.
Предназначение СМО состоит в обслуживании потоков заявок (требований), представляющих последовательность событий, поступающих нерегулярно и в случайные моменты времени. Само обслуживание заявок также имеет непостоянный характер, происходит в случайные промежутки времени. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обуславливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться необслуженные заявки либо заявок нет или их меньше, чем свободных каналов. Таким образом, часть заявок принимается на обслуживание, часть ждет в очереди, часть покидает системы необслуженными.
Основными элементами СМО являются:
входной поток заявок;
очередь;
каналы обслуживания;
выходной поток заявок (обслуженные заявки).
По числу каналов n все СМО разделяются на одноканальные (n=1) и многоканальные (n>1). По дисциплине обслуживания различают СМО с отказами (заявка получает отказ при условии занятости каналов, например, вызовов абонента через АТС) и с ожиданием (очередью) (в случае занятости системы заявка поступает в очередь, например, обслуживание покупателей в магазине).
СМО, состояние которых влияет на поток заявок, требующих обслуживания, называются замкнутыми. В таких системах характеристики входного потока заявок зависят от того, сколько заявок уже находится в системе в данный момент. Если же поток заявок, требующих обслуживания, не влияет на состояние системы, то СМО называется разомкнутой.
Целью теории СМО является выработка рекомендаций по рациональному построению системы и рациональной организации ее работы. Отсюда вытекают задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление зависимостей работы СМО от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и ее производительности, правил работы СМО.
Показатели эффективности СМО описывают ее возможность справляться с потоком заявок.
К числу показателей эффективности СМО с отказами относятся:
абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени);
вероятность приема (вероятность того, что заявка будет принята на обслуживание);
вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной);
среднее число занятых каналов.
К числу показателей эффективности СМО с очередью относятся:
среднее время ожидания обслуживания;
среднее число заявок в очереди;
среднее время пребывания заявки в очереди;
вероятность того, что канал занят.