2. Построение Амплитудо Фазо Частотных Характеристик (афчх)

Для построения АФЧХ необходимо найти зависимость амплитуды от частоты и фазового угла от частоты. Для этого найдём выражения для частотной передаточной функции. Частотную передаточную функцию получим подстановкой в передаточную функцию системы в место p i

(24)

Подставим в (20) вместо p i

(25)

Избавимся от комплексности в знаменатели для этого раскроем скобки

С группируем действительную и мнимую части в знаменатели

(26)

Домножим на сопряженное выражение

(27)

Свернём знаменатель по формуле разности квадратов

(28)

Преобразуем (28) к виду

(29)

Зная действительную и мнимую части найдём выражение для амплитуды и фазового угла

(29)

(30)

3.2 Построение лах и лфх

При помощи программы МВТУ была построена асимптотическая характеристика ЛАХ и ЛФХ.

Рис. 9 Асимптотическая характеристика ЛАХ и ЛФХ

4. Исследование устойчивости

4.1 Критерий Гурвица

По критерию Гурвица для того что бы система была устойчивой необходимо выполнение двух условий:

1. Что бы все коэффициенты характеристического уравнения были бы положительны;

2. Что бы все определители, полученные из матрицы Гурвица составленной из коэффициентов характеристического уравнения, были больше нуля.

Для исследования системы по критерию Гурвица рассмотрим характеристическое уравнение полученное приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции разомкнутой системы

(31)

Из (32) найдём значение коэффициентов

Все коэффициенты положительны, первое условие выполняется.

Матрица Гурвица

Найдём все определители, полученные из матрицы

Второе условие выполняется, значит по критерию Гурвица система устойчива.

4.2 Критерий Найквиста

Годограф Найквиста представлен на рисунке № . Для того чтобы определить устойчива ли система по критерию Найквиста необходимо чтобы АФЧХ не охватывало точку -1; i0.

Рис. 11 Годограф Найквиста

По годографу можно сказать, что система устойчива.

Определение устойчивости по критерию Найквиста на основании логических характеристик. Для того чтобы система была устойчива необходимо чтобы частота среза была меньше частоты . По чертежу логарифмических характеристик (рис. 9) можно сделать вывод, что система устойчива.

4.3 Критерий Михайлова

Критерий Михайлова основан на рассмотрении годографа Михайлова. Для того чтобы система была устойчивой по критерию Михайлова необходимо, чтобы годограф Михайлова последовательно проходил все квадранты и уходил в бесконечность в квадранте номер которого равен порядку системы.

Для построения годографа Михайлова необходимо найти действительную и мнимую часть характеристического комплекса замкнутой системы, который будет получен приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы и подстановкой в него в место p 

(24)

(28)

Выделим в 31 действительную и мнимую части:

(31)

(32)

Подставим в 33 числовые значения

(33)

Н

Рис. 10 Годограф Михайлова

а основании полученного аналитического выражения и при помощи программы МВТУ построим годограф Михайлова (рис. №) Порядок системы на основании передаточной функции замкнутой системы n=2 и на основании годографа Михайлова можно сделать вывод, что система устойчива т.к. годограф уходит в бесконечность во II квадранте.