6.Теорема Байеса ( теорема гіпотез або формула зворотних ймовірностей ).
Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие(гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.
Формула Байеса:
где
|
,
—
априорная
вероятность гипотезы A (смысл
такой терминологии см. ниже);
—
вероятность
гипотезы A при
наступлении события B (апостериорная
вероятность);
—
вероятность
наступления события B при
истинности гипотезы A;
—
полная вероятность
наступления события B.Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).
Поняття закону розподілу дискретних випадкових величин: визначення, графічне зображення.
Дискретною
випадковою
величиною називається величина, можливі
значення якої можуть бути пронумеровані
в якомусь порядку і записані у вигляді
послідовності. 
Тобто
,усі значення випадкові величини можна
перелічити.
Приклад - кількість відбійних молотків, що виходять з ладу протягом зміни .
Випадкова величина – визначення, види випадкових величин, приклади.
Випадковою величиною називається така змінна величина, що при іспиті може прийняти те чи інше чисельне значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме.
Приклади випадкових величин:
1) число снарядів, що потрапили в ціль;
2) число осколків, що може потрапити в ціль при розриві бойової частини ракети;
3) число літаків, збитих у повітряному бої;
4) число елементів, що відмовили, у приладі, що складається з п'яти елементів.
Легко бачити, що перераховані в цих прикладах випадкові величини можуть приймати тільки окремі, ізольовані друг від друга значення, які можна заздалегідь перелічити.
Перераховані випадкові величини є перериваними чи дискретними.
Таким чином, дискретними, чи перериваними, випадковими величинами називаються випадкові величини, що у результаті іспиту можуть приймати тільки окремий, ізольований друг від друга значення і їхній можна заздалегідь перелічити.
Існують випадкові величини іншого типу. Можливі значення цих випадкових величин не відділений друг від друга; вони безупинно заповнюють деякий проміжок, чи інтервал.
Випадкові величини, що у результаті іспиту можуть прийняти кожне з незліченної безлічі можливих значень, що безупинно заповнюють деякий проміжок, називаються безперервними випадковими величинами.
Функція розподілу випадкових величин (сутність, властивості).
Позначимо імовірність того, що випадкова величина Х прийме яке бажане значення - менше ніж х фіксоване, - через Р(Х < х). Імовірність цієї нерівності, мабуть, залежить від х, тобто є функцією від х. Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини Х и позначається F(x):
F(x)=Р(Х< х) (2.28)
Таким чином, функцією розподілу випадкової величини Х називається імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше, ніж якесь наперед задане значення х.
Розглянемо загальні властивості функції розподілу:
1. Функція розподілу як імовірність є величина безрозмірна.
2. При х = - функція розподілу дорівнює нулю, тобто
F(- )=0.
3. При х = + функція розподілу дорівнює одиниці, тобто
F(+ )=1.
4. Функція розподілу є неубутна функція від х, тобто якщо х2х1, то
F(x2) F(x1).
Щільність ймовірності безперервної випадкової величини ( сутність, властивості).
Позначимо похідну від функції розподілу через f(x), тобто
Функція f(x) називається щільністю розподілу імовірності випадкової величини Х чи щільністю імовірності.
Іноді щільність імовірності називають диференціальним законом розподілу випадкової величини.
Щільність імовірності f(x) характеризує щільність розподілу імовірності випадкової величини Х в даній крапці (х) і, як видно з визначення (2.33), має розмірність, зворотну розмірності випадкової величини. Якщо удатися до механічної інтерпретації розподілу випадкової величини, то щільність імовірності характеризує щільність розподілу мас уздовж осі абсцис. Така назва функції f(x) дано за аналогією з поняттям щільності у фізики.
Розглянемо основні властивості щільності імовірності.
1. Щільність імовірності є ненегативна функція, тобто f(x) 0. Ця властивість випливає з того, що функція розподілу F(x) не убутна, а похідна від неубутної функції негативної бути не може. Геометрично це значить, що вся крива щільності імовірності лежить вище осі абсцис.
2. Інтеграл у нескінченних межах від щільності імовірності дорівнює одиниці:
Математичне сподівання дискретних та безперервних випадкових величин (сутність, математичний опис, властивості).
Математичним сподіванням випадкової величини називають її середній очікуваний результат.
Математичне сподівання випадкової величини знаходиться як сума парних добутків усіх можливих значень випадкової величини на відповідні їм імовірності цих значень.
З формули визначення математичного сподівання випливають наступні властивості:
1. Математичне сподівання випадкової величини обчислюється до досвіду. Воно може бути числом цілим і дробовим, позитивним і негативної. В окремому випадку, коли розподіл симетричний відносно початку відліку Х, математичне сподівання такої випадкової величини дорівнює нулю. Розмірність математичного сподівання така ж, як і розмірність випадкової величини.
2. Математичне сподівання випадкової величини - величина постійна, укладена між найбільшим і найменшої можливими значеннями випадкової величини.
3. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній величині. Дійсно, постійна величина З може приймати тільки одне єдине значення, рівне С з імовірністю, рівній одиниці. Тоді
М[C]=C·1=С.
4. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання. Дійсно, нехай потрібно визначити математичне сподівання безперервної випадкової величини Y=CX, де С- постійний множник. Тоді
Дисперсія дискретних та безперервних випадкових величин (сутність, математичний опис, властивості).
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
Умовимося позначати дисперсію символами D[X] чи Dx. Таким чином, по визначенню дисперсії маємо
, (2.39)
Слово “дисперсія” означає розсіювання.
Відповідно до визначення дисперсію дискретної випадкової величини визначимо по формулі:
(2.40)
де хі- можливі значення випадкової величини;
М[X]- математичне сподівання випадкової величини;
Розглянемо властивості дисперсії:
1. Дисперсія - це величина істотно позитивна, виходячи з її визначення.
2. Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини - у цьому її недолік, тому що не одержуємо наочного представлення про величину розсіювання випадкової величини щодо її математичного сподівання.
3. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю.
Дійсно,
D[C]=M{C-M[C]}2,
але тому що математичне сподівання постійної величини С дорівнює їй самої, тобто M[C]=З, те
D[C]=M[C-C]2=M[0]=0.
4. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат.
Середнє квадратичне відхилення випадкових величин (сутність, взаємозв’язок з дисперсією).
Середнє квадратичне відхилення так само, як і дисперсія, характеризує розсіювання випадкової величини щодо її математичного сподівання.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається корінь квадратний з дисперсії випадкової величини.
Таким чином, по визначенню середнього квадратичного відхилення маємо:
Для дискретної
випадкової величини Х, виходячи з
визначення середнього квадратичного
відхилення, будемо мати:
(2.44)
Для безперервної випадкової величини:
(2.45)
Як видно з формул (2.44) і (2.45), розмірність середнього квадратичного відхилення така ж, як і розмірність випадкової величини. У цьому складається перевага середнього квадратичного відхилення перед дисперсією. Якщо дисперсія характеризує середнє значення квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, то середнє квадратичне відхилення, як побачимо далі, дає можливість у цілому ряді випадків указати, які по величині і з якою імовірністю можуть бути самі відхилення.
Легко побачити, що чим більше дисперсія D[X] випадкової величини Х, тим більше і середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини х. Отже, якщо дисперсія випадкової величини Х1 більше дисперсії випадкової величини Х2, тобто якщо [X1] D[X2], те х1 х2. Таким чином, дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини однозначно характеризують розсіювання випадкової величини щодо її математичного сподівання.
Отже, найважливішими числовими характеристиками випадкової величини є:
- математичне сподівання, що характеризує положення випадкової величини на числовій осі, її середнє значення;
- чи дисперсія середнє квадратичне відхилення, що характеризує розсіювання випадкової величини біля її середнього значення.
Біноміальний закон розподілу ймовірностей.
Біноміальний розподіл – це закон розподілу випадкових величин, заданий таблицею, у якій ймовірності Рі обчислюються за формулою Бернуллі:
.
-
Х
0
1
…
і
…
n
р
qn
C1np qn-1
…
C1npi qn-1
…
pn
де p, n, q = 1-p, називаються араметрами розподілу.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, що має біноміальний розподіл відповідно рівні:
.
Закон розподілу Пуассона ймовірностей.
Пуассонівський
закон розподілу –
це закон розподілу випадкової величини,
заданий таблицею, у якій ймовірність
обчислюється за формулою Пуассона 
(див.
лк.23, §3).
Типовими прикладами випадкової величини, що має розподіл Пуассона, є: число викликів на АТС за деякий час t; число відновлень складної апаратури за час t, якщо відомо, що відновлення незалежні один від одного і в середньому на одиницю часу випадає відновлень і т.п.
Розподіл Пуассона залежить від одного параметру , який є математичним сподіванням випадкової величини Х:
.
Дисперсія буде:
звідси: 
.
Експоненційний закон розподілу ймовірностей.
ξ - показникова розподілена випадкова величина, якщо:
функція розподілу має вигляд:
якщо її щільність розподілу:
математичне сподівання величини:
дисперсія величини:
Постановка транспортної задачі лінійного програмування