1999/2000 Учебный год. Вариант 2.

Задача 3. Многочлен делится без остатка на , а при делении дает в остатке . Найти остаток от деления многочлена на .

Решение аналогично варианту 1.

Ответ: .

Задача 4. Число является корнем уравнения

Найти значение и решить уравнение над полем комплексных чисел.

Решение. Преобразуем число , получим, что . Подставляем в уравнение, получаем . Получаем ; (постороннее значение).

Решим уравнение . Получаем корни .

Задача 5. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :

_Ответ. При система не совместна; при общее решение ; при ,

1999/2000 Учебный год. Вариант 3.

Задача 3. Многочлен делится без остатка на , а при делении на дает в остатке . Найти остаток от деления многочлена на .

Ответ: .

Задача 4. Число является корнем уравнения Найти значение и решить уравнение над полем комплексных чисел.

Решение. Преобразуем выражение для и получим . Получаем тогда, что или (посторонний корень, т.к. – действительное число). Осталось решить уравнение . Получаем корни .

Задача 5. Исследовать систему и найти ее общее решение в зависимости от параметра .

Ответ: При система не совместна; при ; при ,

1999/2000 Учебный год. Вариант 4.

Задача 3. Многочлен делится без остатка на , а при делении на дает в остатке . Найти остаток от деления на .

Ответ. .

Задача 4. Число является корнем уравнения Найти значение и решить уравнение над полем комплексных чисел.

Решение. . При этом получаем, что , но дискриминант у этого квадратного трехчлена меньше нуля, поэтому таких действительных чисел а нет. Если бы было снизу, то совсем другая история.

Задача 5. Исследовать систему и найти ее общее решение в зависимости от параметра .

_Ответ. При система не совместна; при общее решение ; при ,

1999/2000 Учебный год. Вариант 5.

Задача 3. Многочлен делится без остатка на , а при делении на дает в остатке . Найти остаток от деления на .

Ответ. .

Задача 4. Число является корнем уравнения Найти значение и решить уравнение над полем комплексных чисел.

Ответ. .

Задача 5. Исследовать систему и найти ее общее решение в зависимости от параметра .

Ответ: При система не совместна; при ; при ,

1999/2000 Учебный год. Вариант 6.

Задача 3. Многочлен делится без остатка на , а при делении на дает в остатке . Найти остаток от деления на .

Ответ. .

Задача 4. Число является корнем уравнения Найти значение и решить уравнение над полем комплексных чисел.

Ответ. .

Задача 5. Исследовать систему и найти ее общее решение в зависимости от параметра .

Ответ: ри ; при , получаем .

2000/2001 Учебный год. Вариант 1.

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду и указать линейное отображение, осуществляющее это преобразование.

Решение. Воспользуемся методом Лагранжа. Сделаем замену переменных ; . Получим:

Производим замену переменных

После этой замены форма переходит к виду .

Замена переменных как раз и задает искомое линейное отображение.

Задача 12. Пусть и – билинейная симметрическая -значная форма на со свойством Доказать, что имеет место только одна из следующих альтернатив: а) б)

Решение. Предположим, что существуют такие вектора , что . Заметим, что вектора x, y не могут быть коллинеарны. Действительно, если бы , то

Рассмотрим заведомо ненулевой вектор .

Дискриминант этого квадратного трехчлена . Поскольку дискриминант неотрицателен для любых векторов и , значит, всегда найдется такое число , что . А отсюда будет следовать, что квадрат ненулевого вектора нулевой. Что противоречит условию.