1 7. Применение метода наискорейшего спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике.

Метод наискорейшего спуска

Длина шага зависит от направления спуска и вычисляется из условия наискорейшего убывания целевой функции

Для того, чтобы найти оптимальное значение длины шага необходимо продифференцировать по длине шага и приравнять к нулю:

:

- данная функция может быть нелинейной относительно q, и поэтому аппроксимируют полиномом 2-ой степени

псевдооптимальная длина шага

Найти

?

1 8.Способ вычисления оптимальной длины шага вдоль заданного направления спуска при решении задач оптимизации в электроэнергетике.

,

где - длина шага вдоль вектора ;

- направление спуска на К-ом шаге.

Все методы нелинейного программирования, основанные на данном соотношении можно разделить на 2 класса по способу задания длины шага:

3. Класс основан на постоянной длине шага

Исходная длина шага задается примерно. Но при неудачно заданной длине шага может не выполняться критерий оптимизации, т.е.

нарушение критерия оптимизации, отсюда следует

,

,

.

Достоинством этих методов является малый объем вычислений на каждом шаге.

Недостатки – при неудачно заданных значениях длины шага q и , возможно большое количество шагов оптимизации, и следовательно, большой объем вычислений.

4. Класс - метод наискорейшего спуска

Длина шага зависит от направления спуска и вычисляется из условия наискорейшего убывания целевой функции

Для того, чтобы найти оптимальное значение длины шага необходимо продифференцировать по длине шага и приравнять к нулю:

:

- данная функция может быть нелинейной относительно q, и поэтому аппроксимируют полиномом 2-ой степени

псевдооптимальная длина шага

Найти

?

19 Применение метода покоординатной оптимизации в электроэнергетике. Внешний и внутренний циклы метода.

Метод покоординатной оптимизации относится к регулярным методам выбора направления. Суть алгоритма в том, что в кач-ве возможных направлений исп-ся орты исходной схемы координат.

Внутренний цикл

1ый шаг: изменение Х₁

Х₂ =соnst

. . .

Х_n =соnst

Х₁⁽¹⁾= Х₁⁽⁰⁾+q₁оптl₁

Х₂⁽¹⁾= Х₂⁽⁰⁾+q₂оптl₂

. . .

Х_n⁽¹⁾= Х_n⁽⁰⁾+q_nоптl_n

Ч астичная минимизация по всем N независимым переменным образуют полный внешний цикл. Кол-во повторений внутреннего цикла заранее не известно и определяется св-вами целевой функции и начальным приближением.

определение q¹опт

ΔХ₁⁽¹⁾= Х₁⁽¹⁾-Х₁⁽⁰⁾= q₁опт*l₁

ΔХ₂⁽¹⁾= Х₂⁽¹⁾-Х₂⁽⁰⁾= q₂опт*l₂

Достоинства: простота реализации и малый объем вычислений на каждом шаге.

Недостатки: возможная неудовлетворительная сходимость и неприемлемое число шагов.

2 0. Применение градиентных методов оптимизации в электроэнергетике. Критерии сходимости. Градиентный метод в сочетании с методом наискорейшего спуска.

В отличие от методов покоординатной оптимизации градиентные методы не связаны с набором фиксированных направлений, а движение всегда осуществляется в направлении наискорейшего убывания целевой функции.

Рекуррентное выражение градиентного метода

q^к_опт:

вектор спуска таков, что новый градиент ортогонален предыдущему Х⁽⁰⁾.

П рограммное обеспечение градиентных методов значительно сложнее, а объем вычислений значительно больше, чем при использовании метода покоординатной оптимизации. Однако, в сочетании методом наискорейшего спуска сходимость градиентных методов значительно лучше.

Критерии сходимости

1. сопоставление целевой функции на каждом шаге

ε – малая величина

если это условие выполняется то экстремум достигнет максимума.

Д остоинства простота реализации.

Недостатки: малость модуля разности целевой функции на соседних шагах может не соответствовать близости к экстремуму.

2) Проверка длины градиентаю

в точке экстремума все

, µ - малая величина.

Тогда процесс точно сойдется.

Спуск вып-ся до .