7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy (z + 1) dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

, если V: x² + y² + z² 2z, x 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, x + y +3 = 0, z = 9 – x².

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: x² + y² = 4 – z, z = 0.

Вариант № 7

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) dy f(x, y) dx; б) f(x, y) dy.

2. Вычислить 4ye ^2xy dx dy , если D: y = ln 3, y = ln 4, x = 1/2, x = 1.

3. Преобразовать к полярным координатам и вычислить

(x +2)dx dy , если D: x² + y² + y 0, y x;

4. Найти массу пластинки D, если плотность =12x y²,

D: x² + y² = 9, x , y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x = 0, y = 0, 2x + 3y = 6.

6. Вычислить x dx dy dz , если V – пирамида, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 3.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy (z - 2 ) dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz, если V: x² + y² + z² - 2z = 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, x = 0, y = 0, x² = z + 4, 3x + 2y = 6.

10. Найти массу тела плотностью = z, ограниченного поверхностями:

x² + y² + z² = 3, x² + y² 2, z = 0.

Вариант № 8

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу, б) f(x, y) dx.

2. Вычислить а) (xy - 4x³y³) dx dy , если D: x = 1, y =- , y = x³;

б) y²sin dx dy , если D: x = 0, y = , y = .

3. Преобразовать к полярным координатам и вычислить

dx dy , если D: x² + y² – x = 0, y .

4. Найти массу пластинки D, если плотность = ,

D: x² + y² = 9, x² + y² = 16, x 0 y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y = 6, x + y=7.

6. Вычислить y² cos dx dy dz , если V: x = 0, y = -1, y = z, z = 0, z = 2 .

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy (x² + y²) dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz , если V: x² + y² + z² - z 0, y 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 4 – y², x + y = 2, x = 0, z = 0.

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями :x² + y² = 4z, z = 1.

Вариант № 9

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу; б) f(x, y) dx.

2. Вычислить а) 8xy dx dy , если D: x = 1, y = -x³, y = ;

б) y cos 2xy dx dy , если D: x = 0, x = , y = 0, y = 1.

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

dx dy , если D: x² + y² – x 0, y 0.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = x²+2y, D: x = 2, y = 0, y = .

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y = - 6, y = x + 7.

6. Вычислить y² cos ( x y) dx dy dz , если V: x = 0, y = 2x, y = 1, z = 0, z = .

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy (x² + y²)³ dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz , если V: x² + y² + z² + z = 0, - z 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, 2x - 3y = 6, z = 0, z = 2y².

10. Найти массу тела плотностью = 10x , ограниченного поверхностями:

x² + y² = 1, x² + y² = 2z, x 0, y 0, z 0.

Вариант № 10

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dx; б) f(x, y) dу .

2. Вычислить а) 9xy² dx dy , если D: x = 1, y = x², y = - .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

, если D: x² + y² – ay = 0, y x.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = y² D: 4x² + y² = 4.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y = 4, x+y=5

6. Вычислить x² sin ( x y) dx dy dz, если V: x = 1, y = , y = 0, z = 0, z = 8 .

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dy dy z² dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

(x² + y²) dx dy dz , если V: x² + y² + z² 4, x² + y² + z² 9.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y = 6, z = 2y².

10. Найти массу тела плотностью = (x² + y²), ограниченного поверхностями: x² + y²=1, x = 0, z = 0, z² = 36(x² + y²).

Вариант № 11

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу; б) f(x, y) dx.

2. Вычислить а) (0,8 + 8xy) dx dy , если D: x = 1, y = x³, y = - .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

, если D: x² + y² – ay = 0, y .

4. Найти массу пластинки D, если плотность = x²y, D: + 1.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y = -2, y = x – 3.

6. Вычислить , если V: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy 14yz dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

(x² + y² + z²)³ dx dy dz , если V: x² + y² + z² a², x² + y² + z² b², a < b.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x² + y² = 1, x² + y² - z² = -4, z 0.

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: x² + y² + z² = 4, z 0.

Вариант № 12

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу; б) f(x, y) dх.

2. Вычислить а) y sin x y dx dy , если D: x = 1, x = 2, y = , y = .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

, если D: x² + y² + y = 0, y .

4. Найти массу пластинки D, если плотность = x y, D: x = 0, y = x, x + y = 2.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = 2x, x = 2y, x + y = 3.

6. Вычислить x²z sin dx dy dz , если V: x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 2 , z = 4.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy y z dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

(4 - z) dx dy dz , если V: x² + y² + z² = 1, x 0, y 0, z 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x² + y² = 1, z 0, x² + y² + z = 3.

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: z 0, z 2 - .

Вариант № 13

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу; б) f(x, y) dx.

2. Вычислить а) 6y sin 2xy dx dy , если D: 1 x 3, y .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

(x + y) dx dy , если D: x² + y² + x 0, y + x 0.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = x y², D: x 0, x² + 4y² = 4.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x², y = 0.

6. Вычислить 21x z dx dy dz , если V: x = 2, y = 0, z = 0, y = x, z = x y.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy (2 + 3x) dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

(x² + y²)² dx dy dz , если V: x² + y² + z² a², x² + y² + z² b², a b.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x² + y² + z² +9 = 0, x² + z² = 9, y 0.

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: x² + z² = 9 - y, y = 0.

Вариант № 14

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу; б) .

2. Вычислить а) y cos 2xy dx dy , если D: x = 1, x = 3, y = , y = .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

( x² + y²)² dx dy , если D: x² + y² – x = 0, y x.

4. Найти массу пластинки D, если плотность =x²y,

D: x y = 3, y = 3x, x = 3y.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = 0, 3x² - 12x - 4y = 0.

6. Вычислить (3x + 4y) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 5(x² + y²)

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy 3y dz.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz , если V: x² + y² + z² = 9, z² = 3(x² + y²), z 0.

(внутри конуса)

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

y² = 4x, z = 0, x + z = 4.

10. Найти массу тела плотностью = x + y , ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, x = 4, y + z = 3.

Вариант № 15

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу ; б) .

2. Вычислить а) dx dy , если D: x = 2, y = x, y = 2x.

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

x y² dx dy , если D: x² + y² 4y, y -x.

4. Найти массу пластинки D, если плотность =7x²y, D: x² + = 1, y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x² + y² = 2x, y 0, y .

6. Вычислить x² sin( xy) dx dy dz , если V: x = 1, y = 2x, y = 0, z = 0, z = 4 .

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy dz , если V: 4z² = x² + y², x = 0, y = 0, z = 1.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz , если V: x² + y² + z² = 4, x² + y² = 3z².

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = x, y = 0, y = 4, x = .

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: x² + y² = 9 -z, z 5.

Вариант № 16

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу ; б) .

2. Вычислить а) x²y dx dy , если D: y = 0, y = .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

( x² + y²)² dx dy , если D: x² + y² = 4, y 0, y x.

4. Найти массу пластинки D, если плотность =7x² + 2y,

D: x = 1, y 0, y² = 4x.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями r = 3(1-cos ).

6. Вычислить z² cos xz dx dy dz , если V: x = 0, y = 0, z = 0, x = z, y = 1, z = .

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

dx dy dz , если V: 4z² = x² + y², x = 0, y = 0, z = 1.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

6 (x² + y²)^3/2 dx dy dz , если V: x = , x 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = 0,z = 9 -y², x² + y² = 9.

10. Найти массу тела плотностью =2(x² + y²), ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, 25(x² + y²) = z², x² + y² = 4.

Вариант № 17

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу ; б) .

2. Вычислить а) x sin xy dx dy , если D: x = 1, x = 2, y = , y = .

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

dx dy , если D: x² + (y - 1)² = 1, x 0.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = x²y, D: + =1, x 0, y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = , x = 2y, x = 0.

6. Вычислить (y² - z cos x) dx dy dz , если V:y = 0, z = 0, x = 1, y = 2x, z = 3.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

xy dx dy dz, если V: z = 6 - x² - y², z² = x² + y².

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

( x² + y²)² dx dy dz , если V: y = , y 0.

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = 4 – x – y , x² + y² = 4.

10. Найти массу тела плотностью = (x² + y²), ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, x² + y² = 4, 9(x² + y²) = z².

Вариант № 18

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу ; б) .

2. Вычислить а) 4ye^2xy dx dy , если D: x = , x = 1, y = ln 2, y = ln 4.

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

x²y dx dy , если D: x² + y² = 4x, x + y 0.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = 3x²y,

D: x² + 4y² = 4, y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = , y = 4 - 2x, y = 0.

6. Вычислить (3y² - z sin x) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 2.

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

4x² y²z dx dy dz , если V: z = 1, x² + y² = 4z.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

dx dy dz , если V: x² + y² + z² = a², z = .

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 2y², x + 2y + z – 4 = 0, z = 0.

10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: z = , z .

Вариант № 19

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dу ; б) .

2. Вычислить а) 3x e^xy dx dy , если D: x + y = 0, y = 0, x = 1.

3 . Преобразовать к полярным координатам и вычислить:

a) dx dy , если D: x² + y² = 4, x² + y² = 1.

4. Найти массу пластинки D, если плотность = 3xy

D: + = 1, x 0, y 0.

5. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x² = y + 4, x = 0, y + 3x = 0.

6. Вычислить (3y + 1) dx dy dz , если V: x = 1, y = 0, z = 0, y = x, z = 3x² + 2y².

7. Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

(x - y) dx dy dz , если V: z = 6 - x² - y², z 0.

8. Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

(x² + y² + z²)³ dx dy dz, если V: x² + y² + z² = 4, x² + y² = 3z².

9. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, y + z = 2, x² + y² = 4.

10. Найти массу тела плотностью = 3z , ограниченного поверхностями:

x² + y² + z² = 9, x² + y² + z² = 6z.

Вариант № 20

1. Построить область интегрирования, изменить порядок интегрирования в интеграле: а) f(x, y) dх ; б) .

2. Вычислить а) dx dy , если D: y = 2x, x + y = 0, x = 3.