1.4. Подбор чисел зубьев планетарного зубчатого механизма

При подборе чисел зубьев колёс для выбранной схемы механизма необходимо учесть ряд условий, а именно, выдержать заданное передаточное число, обеспечить соосность зубчатых колёс, выдержать «условие соседства» сателлитов; обеспечить «условие сборки», отсутствие заклинивания; добиться более высокого к.п.д. передачи. При этом необходимо добиваться компактности и простоты конструкции, простоты сборки, равномерности распределения нагрузки между зубьями колёс.

Наиболее простым методом подбора числа зубьев является метод неопределённых сомножителей, при котором подбор ведётся только по двум условиям — передаточному отношению и условию соосности, а проверка — по условию сборки, соседства, заклинивания и наименьшему суммарному числу зубьев. Обеспечение заданного отношения (с допустимой точностью 1…5%) диктуется требованиями точности выполнения технологического процесса. Передаточное отношение планетарной ступени редуктора определяется по зависимости (1.13) с учётом формул (1.1 и 1.12).

Условие соосности требует размещения осей вращения всех колёс на одной прямой. Для схем механизмов, изображенных на рис. 1.2, условие соосности имеет вид:

для схемы а (1.14)

для схемы б (1.15)

для схемы в (1.16)

для схемы г (1.17)

где m₁₂, m₃₄ — модуль зацепления колёс 1 и 2, 3,и 4.

В задании на курсовой проект принято m₁₂ = m₃₄ = m.

Выполнение условия соосности необходимо для обеспечения зацепления сателлитов с центральными колёсами и проворачиваемости водила.

Выполнение условия соседства обеспечит размещение сателлитов вокруг центрального колеса (внутри центрального колеса) так, что соседние сателлиты не будут задевать своими зубьями друг друга.

В общем случае для нулевых цилиндрических передач условие соседства имеет следующий вид:

(1.18)

(1.19)

В зависимостях (1.18—1.19) берётся знак плюс при внешнем и минус — при внутреннем зацеплении колёс 1—2.

Возможность установки нескольких сателлитов и их одновременного зацепления с центральными колёсами обеспечивается условиями сборки. Условие сборки планетарных механизмов связывает в одно целое число зубьев зубчатых колёс, числа сателлитов и их взаимное расположение.

Для однорядной планетарной передачи (рис. 1.2, г) условие сборки имеет вид

(1.20)

где К – число сателлитов, устанавливаемых в планетарный редуктор;

С – целое число зубьев, на которое нужно повернуть подвижное

колесо для установки следующего сателлита.

Для передачи с двойными сателлитами (рис. 1.2, а, в) условие сборки имеет вид

(1.21)

где Р — общий наибольший делитель чисел зубьев z₂ и z₃ венцов

сателлита. Знак плюс берётся для схемы в, а минус – для

схем а и б.

Чтобы избежать заклинивания передач внутреннего зацепления, составленных из эвольвентных нулевых колёс, необходимо выбрать число зубьев каждого колеса передачи больше допустимого минимума z_min. Для колёс с внутренними зубьями при угле зацепления =20 и коэффициенте высоты зуба  =1,0 принимается =60; для сцепляющихся с ними колёс с внешними зубьями z^H_min соответственно равно 20 зубьям, а для всей передачи разность чисел зубьев сцепляющихся колёс z_В—z_Н должна быть не менее 8. Во избежание подреза зубьев для передач внешнего зацепления при  =20 и  =1,0 необходимо принять z_min 17.

Размеры планетарного редуктора определяются суммарными числами зубьев всех колёс. Подбор числа зубьев колёс планетарного редуктора методом неопределённых сомножителей рекомендуется выполнять в предлагаемой ниже последовательности.

1. По приведённой схеме (рис. 1.3) планетарного механизма выразить передаточное отношение через числа зубьев по зависимостям (1.3—1.8).

Если входным является зубчатое колесо 3, а выходным — вал водила Н, то передаточное отношение определяется по формуле

(1.22)

где U^(H)₃₆ — передаточное отношение от колеса 3 к колесу 6 редуктора при остановленном водиле Н;

U⁽⁶⁾_3Н — передаточное отношение от колеса 3 к водилу Н при не-

подвижном шестом колесе.

Если по кинематической схеме механизма водило является входным (ведущим) звеном при неподвижном колесе 6, то передаточное отношение определяется по формуле

(1.23)

Если передаточное отношение планетарной ступени U_пл больше допустимых пределов, то в кинематическую схему передаточного механизма следует включить две планетарные ступени. Передаточное отношение одной планетарной ступени

(1.24)

Передаточное отношение от колеса 3 к колесу 6 редуктора при неподвижном водиле Н определяется через число зубьев по формуле

(1.25)

где n — показатель, равный числу пар зубчатых колёс планетарного

механизма с внешним зацеплением. В нашем случае n = 1.

Выразив из формул (1.22) и (1.23) передаточное отношение U^(Н)₃₆ обращенного редуктора с учётом зависимости (1.25), получим

(1.26)

(1.27)

2. Из зависимостей (1.26—1.27) определяется численное значение передаточного отношения U^(Н)₃₆ . Это число представляется в виде неопределённых сомножителей a, b, c и d следующим образом:

(1.28)

Численные значения сомножителей следует определить так, чтобы обеспечивалось заданное передаточное отношение U^(Н)₃₆. При этом необходимо помнить, что неподвижное колесо на схеме должно иметь наибольшее число зубьев и ему должен соответствовать больший из неопределённых сомножителей. В случае иррациональности значений U^(H)₃₆ неопре-делённые сомножители следует подобрать так, чтобы расчётное передаточное отношение отличалось от заданного не более чем на 5%. Таких численных сомножителей будет бесконечное множество. Необходимо просчитать несколько вариантов и выбрать тот, который удовлетворяет всем условиям: соседства, сборки, заклинивания и имеет наименьшее суммарное число зубьев. Например, пусть задано передаточное отношение

6,51.

Округлим данное передаточное отношение на 5%, что составит 0,32. Тогда расчётное передаточное отношение будет находиться в пределах 6,19≤U₃₆^(H)≤6,83. К расчёту принимаем U₃₆^(Н)=6,5. В данном случае численное значение передаточного отношения

6,5 6,51.

Ошибка не превышает +5%, что допустимо по условию обеспечения передаточного отношения.

Это передаточное отношение можно представить в виде произведения неопределённых сомножителей:

= .

В данном случае сомножитель а пропорционален z₄:

bz₆; cz₃; d z₅.

Сомножителями a, b, c, d могут быть любые положительные числа, удовлетворяющие передаточному отношению. Для различных вариантов численные значения этих сомножителей удобно представить в виде табл. 1.1.

Т а б л и ц а 1.1. Численные значения неопределённых сомножителей

Сомножитель	В а р и а н т
	1-й	2-й	3-й
a b c d	5 13 5 2	5 13 2 5	10 13 5 4

3. Чтобы обеспечить условие соосности

z₃+z₄=z₆ – z₅ , (1.29)

когда все колёса одного модуля, необходимо ввести множители ₁ и ₂. В этом случае условие соосности, выраженное через неопределённые сомножители, примет вид

γ(a + c)₁= γ(b – d)₂ . (1.30)

Проще всего принять в качестве дополнительных сомножителей ₁= (b –d) и ₂ = (a + c). Тогда условие соосности примет вид

a(b – d)γ + c(b – d) γ = b( a + c ) γ – d ( a + c ) γ. (1.31)

Следовательно,

z₄ = a(b – d) ; z₆ = b(a + c) ;

z₃ = c(b – d)  ; z₅ =d(a + c)  , (1.30)

где  – любое положительное число, определяемое из условия

отсутствия подрезания ножек зубьев.

Определение чисел зубьев колёс всех выбранных вариантов приведено в табл. 1.2.

Для всех вариантов коэффициент  определяем из условия отсутствия подрезания ножек зубьев. Определение коэффициента  рассмотрим на примере первого варианта.

Т а б л и ц а 1.2. Определение числа зубьев колёс планетарного редуктора

Расчётные формулы	В а р и а н т ы
	1-й		2-й		3-й
	z1	1=1	z2	2=1	z3	3=0,4
z4= a(b – d)  z6= b(a + c)  z3= c( b + d)  z5= d(a + c)  z сум	55 130 55 20 -	55 130 55 20 260	40 91 16 35 -	40 91 16 35 182	90 195 45 60 -	36 78 18 24 180

Согласно кинематической схеме (рис. 1.3), колесо z₆ имеет внутренние зубья. Для этого колеса z_min 60 при  =20 и  =1,0. Следовательно, z₆=130₁ 60, откуда γ₁′ ≥ . С колесом z₆ находится в зацеплении колесо z₅. Для этого колеса z_min 20. Следовательно, z₅=20₁ 20, откуда ₁ =1. Колеса z₃ и z₄ имеют внешнее зацепление. Для этой пары зубчатых колёс z_min >17. В этом случае z₃ = z₄ = 55₁ 17, откуда

₁ =0,3.

Для исключения отсутствия подрезания ножек зубьев в первом варианте следует принять ₁=₁=1. В общем случае коэффициент  принимают из условия отсутствия подрезания ножек зубьев таким, чтобы числа зубьев колёс были целыми. Число зубьев колёс с внутренними зацеплениями в целях уменьшения габаритов редуктора не рекомендуется принимать больше 100. Следовательно, числа зубьев колёс должны находиться в диапазоне 17 z 100.

Аналогично определяются коэффициенты  для всех остальных вариантов расчета. В нашем случае ₁=1, ₂=1, ₃=0,4. По принятым значениям  определяем числа зубьев всех колёс во всех вариантах (табл.1.2).

Анализ данных таблицы показывает, что число зубьев, рассчитанное по варианту 1, не удовлетворяет ограничениям по габаритам редуктора, т.е. z₆=130>100. Поэтому в дальнейшем расчёт по этому варианту производить не следует.

Проверяем расчётные числа зубьев варианта 2 и 3 по условиям соседства

или (1.31)

и сборки

(1.32)

где К – число блоков сателлитов (К= 3 – 4);

z_бс – большее из числа зубьев колёс блока сателлитов;

z_ск – число зубьев центрального колеса, с которым в зацеплении

находится сателлит z_бс ;

Р – наибольший делитель чисел z₄ и z₅;

С – любое целое число.

Расчёты по условиям (1.31) и (1.32) представлены в табл. 1.3.

Т а б л и ц а 1.3. Определение числа зубьев планетарного редуктора