3.2. Построение разностного шаблона для разностной схемы

Заменим дифференциальный оператор Лапласа = + разностным оператором. С этой целью выберем шаблон разност­ной схемы - набор (конфигура­цию) узлов, с использованием которых производится замена производных конечными разно­стями. Для аппроксимации вто­рых производных, входящих в оператор Лапласа, используем пятиточечный шаблон, показан­ный на рис.2.

Рис. 2

Далее будем рассматривать случай соответствующий условиям задания №2, когда шаги разностной сетки по направлениям х и у одинаковы, т.е. h_x=h_y=h. Используя разложе­ние точного решения задачи (3),(4) u(х,у) в ряд Тейлора в окрестности точки (х,у), имеем:

Из последних соотношений нетрудно получить аппроксимации вторых производных со вторым порядком точности:

Введем для сокращения записи общепринятые индексные обозначе­ния узлов (см рис.) и соответствующие обозначения сеточных функций в узлах: u_m,n, u_m-1,n и т.д. Тогда соотношения для производных за­пишем в виде:

В предположении, что решение u(x,y) задачи (3),(4) имеет ограни­ченные четвертые производные и используя последние соотношения можно установить следующее равенство для оператора Лапласа:

или

С использованием данного соотношения исходную дифференциальную задачу Дирихле для уравнения Пуассона можно приближенно заме­нить (аппроксимировать на пятиточечном шаблоне) следующей разност­ной схемой, записанной в операторной форме:

L_hu_h = F_h,

здесь L_hu_h =

Правая часть F_h разностной схемы принимает вид:

F_h =

где - значение функции u(s) в точке (x_m,y_n) принадлежащей границе .

Обозначим через [u]_h проекцию точного решения u(х,у) задачи

Lu = F на пространство сеточных функций {u_m,_n}. Тогда для решения u(х,у) этой задачи в случае прямоугольной области G={[0<x<X]x[0<y<Y]} на плоскости XY имеем:

L_h [u]_h =

Таким образом, невязка δF_h, возникающая при подстановке [u]_h в левую часть разностной схемы L_hu_h = F_h ,имеет вид:

δF_h =

Если в пространстве F_h, состоящем из элементов вида:

f_h =

ввести норму = + , тогда = .

Таким образом, разностная задача аппроксимирует задачу Ди­рихле со вторым порядком относительно h.

Определим норму в пространстве U_h функций, заданных на сстке G_h, положив = . Перейдем к исследованию устойчивости, которое опирается на следующую теорему.

Теорема 1. (Принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения

достигает своих наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках Г_h. Опираясь на теорему 1 можно показать, что справедлива теорема 2.

Теорема 2. Задача L_hu_h = F_h однозначно разрешима при произвольной правой части F_h, причем это свойство не зависит от выбора нормы, и раз­ностная схема устойчива т.е. выполнена оценка вида ₍ , где С не зависит ни от h, ни от F_h.

Таким образом, схема L_hu_h = F_h является аппроксимирующей и устойчи­вой. Это значит, что можно утверждать, что приближенное решение {u_m,n} сходится к точному u(х,у) при h 0.

Разностная задача L_hu_h = F_h представляет собой систему «сеточных» уравнений для нахождения значений сеточной функции u_m,n в узлах разностной сетки.