3. Теорема смещения

(на лекции доказана)

Если ≒ ,

_то ∙ ≒

_{С помощью этой теоремы можно расширить нашу таблицу}

≒ - формула была выведена непосредственно.

≒ ≒

≒ ≒

≒ ≒

Найти изображения функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Ответ:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

Найти функции (оригиналы) по их изображениям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Ответ:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

_{Таблицу заучивать не обязательно, но поупражняться с таблицей необходимо. В процессе этих упражнений формулы сами запомнятся.}

На дом. Найти изображения функций

(вывести табличные формулы)

С помощью этих формул:

а) найти изображения функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

б) найти оригиналы по заданным изображениям:

1. ≒

2.

3.

4.

5.

6.

Занятие 2.

1. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вспомнить теорему о дифференцировании оригинала.

Если ≒ ,

то ≒

≒ и т.д.

Например:

а) ≒

≒

т.е. ≒

б) ≒

≒

т.е. ≒

Пример 1.

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

;

, .

Решение:

- искомое решение

- изображение этого решения

≒

≒

≒

≒ +

≒

- изображающее уравнение является алгебраическим уравнением 1-ой степени относительно .

(для отыскания оригинала пока пользуемся только разложением дроби на простейшие)

, так как ≓ ;

≓

≓ получим

≓

- это и есть решение дифференциального уравнения, причем частное решение, так как заданы начальные условия и . При произвольных и полученная формула выражает общее решение уравнения, где роль произвольных постоянных играют коэффициенты ; . Здесь - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение данного неоднородного уравнения. Заметим, что общее решение получено в форме, удобной для дальнейшего применения, т.к. произвольные постоянные и явно выражены через начальные условия и , и для отыскания частного решения не нужно выполнять никаких дополнительных вычислений.

Пример 2.

Решить уравнение:

,

Решение:

≒ ,

≒ , 2≒

≒ ,

=

= ≓

_Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:

≒

≒

≒

≒

≒

_Ответ:

Пример 4. (Пример для самостоятельного решения)

Решить уравнение:

,

_{Решение:}

≒

≒

≒

≒

≒

_Ответ:

2. Чтобы решать более сложные уравнения нужно лучше владеть техникой отыскания оригиналов и изображений. Продолжим изучение теорем.

1. Теорема о дифференцировании оригинала:

если ≒ ,

то ≒ ,

≒

≒

и т.д.

Эту теорему мы уже использовали.