15.1. Непосредственное интегрирование
Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.
,
,
ПП 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 15.1. Непосредственное интегрирование |
||
№ п/п |
Задание |
Ответ |
ПП 15.№1. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№2. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№3. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№4. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№5. |
Найдите
Решение:
Вычислим
интеграл двумя способами и
дифференцированием полученной
первообразной убедимся, что ответ
может быть представлен в различном
виде.
1)
2)
Вычислим:
1)
2)
В правильности ответа всегда можно убедиться. |
или
|
ПП 15.№6. |
Найдите
|
|
ПП 15.№7. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№8. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№9. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15. №10. |
Найдите
Решение:
|
|
.
.
.
.
.
.
.
.
Решение:
.
.
15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)
Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием основывается на следующей теореме.
Если
1)
функция
определена и дифференцируема на некотором
множестве
,
а
– множество всех значений этой функции,
2)
для функции
существует на множестве
первообразная функции
:
,
то
на множестве
для функции
существует первообразная функция,
равная
:
.
Множества и представляют собой отрезки, интервалы, полупрямые или прямые.
ПП 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 15.2. Замена переменной |
||
№ п/п |
Задание |
Ответ |
ПП 15.№11. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№12. |
Найдите
Решение: |
|
ПП 15.№13. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№14. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№15. |
Найдите
|
|
ПП 15.№16. |
Найдите
Решение: = |
|
.
.
.
.
.
.
Решение:
=
.
.
ПП 15.№17. |
Найдите
|
|
ПП 15.№18. |
Найдите
|
|
ПП 15.№19. |
Найдите
Решение: |
|
ПП 15.№20. |
Найдите
|
|
ПП 15.№21. |
Найдите
Решение:
= |
|
.
Решение:
.
Решение:
.
.
.
.
.
.
.
ПП 15.№22. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№23. |
Найдите
|
|
ПП 15.№24. |
Найдите
|
|
ПП 15.№25. |
Найдите
|
|
ПП 15.№26. |
Найдите
|
|
ПП 15.№27. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№28. |
Найдите
|
|
ПП 15.№29. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№30. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№31. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№32. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№33. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№34. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№35. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№36. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№37. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№38. |
Найдите
Решение:
|
|
.
.
;
.
.
Решение:
.
.
Решение:
.
Решение:
=
.
.
Решение:
.
.
.
Решение:
.
.
.
.
.
.
.
;
.
ПП 15.№39. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№40. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№41. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№42. |
Найдите
Решение:
|
|
ПП 15.№43 |
Найдите
Решение:
|
|
.
.
.
.
.
