Если справедливо предположение о равномерном распределении смертей внутри года, то апроксимируется линейной функцией вида:

.

Тогда, линейное приближение примет вид

, .

Если представить х в виде , , то можно записать

. (11)

Если на отрезке функция выживания аппроксимируется предположением о постоянной интенсивности смертности:

,

то получаем

, .

Если представить х в виде , , то:

. (12)

Если функция апроксимируется в виде обратной пропорциональной зависимости (предположение Балдуччи):

.

то можно получить:

,

или

(13)

где - вероятность того, что человек в возрасте n лет умрет в течение ближайшего года.

8.Предположение Балдуччи

9.Математическое ожидание распределения жизни для дробных возрастов.

10. Общие таблицы продолжительности жизни.Таблицы отбора риска.

В общей таблице продолжительности жизни, статистические данные сильно отличаются друг от друга:

а) когда речь идет о разных странах с различным социально- экономическим развитием;

б) даже когда речь идет о конкретной стране, следует иметь в виду, что существуют различные группы людей с разными характеристиками продолжительности жизни (шахтеры и домохозяйки, и т.д.).

Поэтому страховые компании должны иметь целый спектр таблиц продолжительности жизни для различных групп населения – таблицы с отбором или таблицы отбора риска. В них, помимо возраста, учитываются и другие факторы, влияющие на смертность. В качестве такого фактора отбора может рассматриваться, например, факт прохождения медицинского осмотра. Термин «отбор» и означает, что люди попадают в соответствующую таблицу после некоторого отбора.

Смертность среди людей, включенных в такие таблицы, зависит не только от возраста, но и от момента проведения отбора.

величины, включаемые в таблицы отбора риска, имеют два аргумента: х - момент отбора и - время, прошедшее с момента отбора.

с течением времени влияние уменьшается и существует некоторый конечный период времени, начиная с которого можно пренебречь влиянием отбора- период действия отбора или срок селекции и таблица, используемая после истечения срока селекции, называется окончательной таблицей продолжительности жизни, и все характеристики жизни будут рассматриваться уже как функции только от достигнутого возраста- таблицы с отбором ограниченного действия.

11.Таблицы с отбором ограниченного действия.

с течением времени влияние уменьшается и существует некоторый конечный период времени, начиная с которого можно пренебречь влиянием отбора- период действия отбора или срок селекции и таблица, используемая после истечения срока селекции, называется окончательной таблицей продолжительности жизни, и все характеристики жизни будут рассматриваться уже как функции только от достигнутого возраста- таблицы с отбором ограниченного действия.

12. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни.

Простейший вид краткосрочного страхования жизни.

Человек платит страховой компании рублей (страховая премия), а компания выплачивает наследникам застрахованного рублей в случае смерти человека в течение года, и не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Величину называют страховой выплатой. И важнейшей задачей является определение зависимостей между величинами и .

Застрахованный, купив за рублей страховой полис, избавил себя от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента смерти. Этот риск приняла на себя страховая компания, и риск заключается в случайности убытка по рассматриваемому договору. Этот индивидуальный убыток является элементарной составляющей финансового риска компании и представляет собой случайную величину с законом распределения

	0

Здесь - вероятность смерти в течение года застрахованного в возрасте х лет; а .

Средняя величина убытка (математическое ожидание) равна

, (1)

а дисперсия –

. (2)

Случайная величина , описывающая потери страховой компании от заключенного договора страхования

математическое ожидание потерь компании:

. (3)

Так как средние потери компании должны быть неположительными, то есть , то или . А минимально возможное значение , удовлетворяющее последнему неравенству, равно

, (4)

и называется нетто-премией.

Таким образом, нетто-премия соответствует средним нулевым потерям компании.

Реальная плата за страховку должна быть больше , так как, во-первых, компания должна учитывать фактор случайности , во-вторых, в сумму входят и различные организационные затраты. Плата должна при этом гарантировать малую вероятность разорения компании. Разница между премией и нетто-премией называется страховой надбавкой (защитная надбавка, надбавка за безопасность), а величина

(5)

называется относительной страховой надбавкой. Страховая надбавка необходима для защиты компании от разорения в виду случайности вариаций индивидуальных исков.

Таким образом, общая плата за страховку, без учета организационных затрат, имеет вид:

. (6)

13. Точный расчет характеристик суммарного ущерба при краткосрочном страховании

жизни.

Пусть общее число застрахованных в компании людей равно , тогда случайная величина

(7)

представляет собой общую сумму выплат всем застрахованным ( - индивидуальный иск от -го застрахованного).

Если капитал компании равен u (сумма всех страховых премий ), то при компания сможет оплатить все иски, а при компания разорится. Поэтому расчет вероятностей таких событий представляет собой фундаментальный интерес для страховых компаний.

Для вычисления вероятностей вида и необходимо определить закон распределения вероятностей суммы (7). Предположим, что являются независимыми случайными величинами, то есть исключаются катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких застрахованных лиц.