Лабораторная работа № 2 «Построение интервальных оценок»

Цель работы:

1. Знакомство с методами интервального оценивания неизвестных параметров закона распределения генеральной совокупности.

2. Приобретение навыков в работе с таблицами распределения случайных величин, использующихся в статистической обработке данных.

Задание:

1. Построить доверительные интервалы для оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборке с доверитель­ны­ми вероятностями , , считая дисперсию неизвес­т­ной. Выполнить для выборки X и Y.

2. Построить доверительные интервалы для оценки математического ожидания по выборке с доверительными вероятностями и , считая известной дисперсию генеральной совокупности (положить и ).

3. Построить доверительные интервалы для оценки дисперсии по выборке с доверительными вероятностями и .

4. Сравнить результаты, полученные при построении интервальных оценок для математического ожидания в п.1 и п.2.

Содержание отчета:

1. Краткая постановка задачи.

2. Описание выполнения заданий.

3. Выводы. Отразить результаты сравнения оценок.

Сведения из теории

Оценку неизвестного параметра генеральной совокупности, выраженную одним числом, называют точечной оценкой. Интервальной оценкой (доверительным интервалом) неизвестного параметра генеральной совокупности называется интервал , который с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, содержит неизвестное значение параметра, то есть

.

называют доверительной вероятностью, а  - уровнем значимости. Интервальные оценки вычисляют, как правило, когда объем выборки невелик, так как в этом случае точечные оценки ненадежны.

1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть с.в. X распределена нормально и дисперсия ее распределения неизвестна. Необходимо оценить неизвестное математическое ожидание a.

Известно, что с.в. распределена по закону Стьюдента, где n- объем выборки.

При заданной доверительной вероятности задача построения интервальной оценки сводится к отысканию такой величины , что

.

Распределение с.в. T табулировано, поэтому можно найти в табл.2, зная n и .

Если преобразовать уравнение к виду , то получим

.

Значит, доверительный интервал для оценки a при неизвестной дисперсии будет иметь вид .

2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии

Пусть с.в. X распределена нормально и известна ее дисперсия . Необходимо оценить неизвестное математическое ожидание a.

С.в. распределена нормально с параметрами 0 и 1. Поэтому для с.в. Z справедливо , где

Ф(z) - функция Лапласа, значения которой табулированы (табл.1). Значение определяют из таблицы значений функции Ф(z), считая что .

Перепишем уравнение в виде , откуда

.

Следовательно, доверительный интервал .

3. Построение доверительного интервала для оценки дисперсии

Пусть с.в. X распределена нормально. Необходимо оценить дисперсию .

Известно, что с.в. распределена по закону с степенями свободы. Распределение несимметрично. Чтобы построить доверительный интервал для , используем соотношение или

Таким образом, доверительный интервал для :

Выбор и неоднозначен. Обычно их выбирают из условий и

Таким образом, из табл.3 значений находим .

Лабораторная работа № 3

«Статистическая проверка статистических гипотез»

Цель работы:

1. Знакомство с методом проверки статистических гипотез.

2. Приобретение навыков в работе с таблицами значений распределения случайных величин.

Задание:

1. Проверить гипотезу о том, что с.в. X распределена по нормальному закону с вероятностью

2. Проверить гипотезу о виде закона распределения с.в. Y (нормальный, равномерный, показательный).

3. Проверить гипотезу о линейной (нелинейной) связи между с.в. X и Y с вероятностью

Содержание отчета: