5.2. Расчет устойчивости для каскадной системы регулирования

По аналогии с одноконтурной системой определим область устойчивости каскадной системы, характеристическое уравнение которой имеет вид:

Выпишем характеристическое уравнение (24):

, т.е. (38)

После подстановки получим:

(39)

Упростим выражение (39) с помощью формулы Эйлера:

где

Аналогично тому, как были получены выражения и для одноконтурной системы, получим эти выражения для корректирующего контура каскадной системы:

(40)

Решение системы (40) имеет вид:

,

где

С учетом сделанных расчетов параметры и будут определяться:

Так же как и для одноконтурной системы задаемся значениями ω от 0 до ∞, и строим границу Д – разбиения в плоскости параметров С₀ и С₁ (рис. 15). Расчетные данные приведены в Таблице 4.

Построим особые прямые при частоте ω=0, тогда , .

Таблица 4.

0,00	0,00	-0,45
0,10	0,01	-0,44
0,20	0,04	-0,41
0,30	0,09	-0,37
0,40	0,15	-0,31
0,50	0,23	-0,23
0,60	0,32	-0,13
0,70	0,42	-0,02
0,80	0,52	0,12
0,90	0,63	0,28
1,00	0,72	0,46
1,10	0,81	0,66
1,20	0,88	0,88
1,30	0,92	1,13
1,40	0,93	1,41
1,50	0,91	1,71
1,60	0,84	2,04
1,70	0,72	2,39
1,80	0,53	2,78
1,90	0,28	3,19
1,99	-0,02	3,59

Рис. 15 Кривая Д-разбиения каскадной системы.

Аналогично тому, как мы определили область с наибольшим числом левых корней в одноконтурной системе, можно сказать, что область I имеет наибольшее число корней. Проверим области на устойчивость, выбрав из нее числовые значения коэффициентов , с помощью критерия Михайлова.

Для этого нам необходимо воспользоваться характеристическим уравнением (24). Выпишем его:

Заменим и воспользуемся формулой Эйлера

Выделим из этого уравнения мнимую и действительную части:

(41)

Подставим выбранные числовые значения коэффициентов и получим:

(42)

Построим годограф Михайлова, задаваясь изменениями частоты от 0 до ∞ (рис. 16). Расчетные данные приведены в таблице 5.

Таблица 5.

w	Re	Im
0,00	1,9	0
0,10	1,848672	0,967217
0,20	1,695797	1,917711
0,30	1,444697	2,834632
0,40	1,100902	3,700871
0,50	0,672139	4,498939
0,60	0,168321	5,210831
0,70	-0,39847	5,817907
0,80	-1,01403	6,300759
0,90	-1,66199	6,639089
1,00	-2,32395	6,811581
1,10	-2,97942	6,795777
1,20	-3,60591	6,567955
1,30	-4,17893	6,103002
1,40	-4,6721	5,374298
1,50	-5,05714	4,353589
1,60	-5,30395	3,010871
1,70	-5,38065	1,314273
1,90	-4,88779	-3,27809
2,00	-4,24623	-6,24799
2,40	1,863635	-23,5934

Рис. 16 - Годограф Михайлова.

Кривая проходит последовательно 4 квадранта, следовательно, система устойчива в выбранной области допустимых значений.

Таким образом, мы определили, что для каскадной системы значения С₀ и С₁ изменяются в пределах: