3. Завдання математичної статистики

Серед основних завдань математичної статистики виділяють наступні:

Перше завдання: вказати способи збору і групування статистичних даних, отриманих в результаті спостережень або в результаті спеціально проведених експериментів.

Друге завдання: розробити методи аналізу статистичних даних в задежності від мети дослідження:

1. Оцінка невідомої ймовірності події. Нехай деяка випадкова подія має ймовірність , але її значення невідоме. Оцінюємо ймовірність за результатами експериментів (оцінка ймовірності через частоту).

2. Оцінка закону розподілу (невідомої функцїі розподілу). Досліджується деяка випадкова величина, точний вираз для закону розподілу якої невідомий. За результатами експериментів знаходимо наближений вираз для функції, що задає закон розподілу.

3. Оцінка параметрів розподілу вид якого невідомий (числових характеристик випадкової величини: математичного сподівання, дисперсії, середньо квадратичного відхилення).

4. Оцінка залежності випадкової величини від однієї або кількох випадкових величин та ін.

5. Перевірка статистичних гіпотез про вид невідомого закону розподілу випадкової величини або про величину параметрів розподілу, вид якого відомий.

4. Вибірковий метод

Залежно від повноти обстеження одиниць статистичної сукупності розрізняють генеральну і вибіркову сукупності. Сукупність одиниць, із яких проводиться відбір частини елементів для спостереження, називається генеральною сукупністю. Аналогічно, частина одиниць, відібрана із генеральної сукупності для вибіркового спостереження, називається вибірковою сукупнісю. Отже, замість вивчення всіх елементів генеральної сукупності, обстежують її значну частину, обрану випадковим чином – вибірку. Такий спосіб збору статистичних даних називається вибірковим методом, що грунтується на тому, що за даними вибіркової сукупності, робиться висновок про всю генеральну сукупність. Схематично зобразимо всі види сукупностей (Рис. Ж.2.2).

Рис. Ж.2.2. Види сукупностей

Наприклад, під час вивчення реальних явищ практично неможливо обстежувати всі елементи статистичної сукупності (наприклад: якість грунту на всьому полі, схожість кожної зернини посівного матеріалу, кількість внесених добрив під час обробки грунтів на 1 га посадки певного виду культур і т.д.), тому беруть їх частину. Причому, якщо у вибірці присутні всі значення випадкової величини в тих самих пропорціях, що й у генеральній сукупності, то цю вибірку називають репрезентативною (від французького – representatif – представницький).

Вибірка називається репрезентативною, якщо кожен об’єкт генеральної сукупності має однакову можливість потрапити у вибірку. Якщо вибірка репрезентативна, то у відповідності із законом великих чисел, результати її вивчення і висновки будуть близькі до результатів, що могли б бути отримані, якщо досліджувалася б вся генеральна сукупність.Якщо необхідно вивчити сукупність однорідних об’єктів відносно деякої якісної або кількісної ознаки, що характеризує ці об’єкти (наприклад: якісний показник – проростання насіння певного сору, а кількісний – висота стеблини, для зернових культур – кількість зернин у колосі, довжина колосу і т.д.), то іноді проводять повне дослідження – беруть кожен об’єкт статистичної сукупності відносно ознаки, якою цікавляться.

Кількість даних генеральної сукупності – називається об’ємом генеральної сукупності і позначається .

Множина із об’єктів генеральної сукупності, відібраних випадковим чином називається вибірковою сукупністю або вибіркою. Кількість об’єктів вибіркової сукупності називається об’ємом вибірки і позначається .

Способи відбору статистичного матеріалу та складання вибірки

Розрізняють два основних способи відбору статистичного матеріалу: повторний і безповторний. Під час повторного способу кожен відібраний об’єкт повертається у генеральну сукупність, після чого вибирають наступний, черговий об’єкт. При безповторному способі об’єкти у генеральну сукупність не повертаються.

Частіше на практиці застосовують безповторний спосіб відбору.

Повторний спосіб відбору можна розглядати як послідовність незалежних випробувань, безповторний – як послідовність залежних випробувань. Обидва способи складання вибірки приводять до практично однакових результатів, якщо об’єм вибірки невеликий у порівнянні з об’ємом генеральної сукупності .

Розрізняють наступні способи складання вибірки:

1. відбір, що не вимагає розкладання генеральної сукупності на частини: простий (випадковий) повторний і безповторний – суть його полягає у тому, що кожен об’єкт вибирається по одному із усієї генеральної сукупності. Нумеруємо всі члени генеральної сукупності об’ємом . Виготовляємо картки із номерами від до . Скрупульозно перемішуємо їх і відбираємо (із поверненням або без повернення) із них пачку карток об’ємом . Одержимо вибірку об’ємом , складену простим (випадковим) способом;

2. якщо об’єм генеральної сукупності дуже великий, то розбиваємо її на частини:

а) механічний – такий відбір, при якому генеральну сукупність “механічно” ділять на груп, де – кількість об’єктів у вибірці і з кожної групи беруть по одому об’єкту (наприклад: якщо потрібно вибрати виготовлених станком деталей, то вибираємо кожну п'яту деталь, враховуючи умови репрезентативності вибірки);

б) типовий – суть його полягає у відборі об’єктів не із всієї генеральної сукупності, а з її “типової частини” (наприклад, якщо деталі виготовляються на кількох станках, то відбір здійснюється не із усієї сукупності деталей, виготовлених всіма станками, а із продукції кожного станка окремо). Типовий відбір доречний там, де досліджувана ознака помітно коливається у різноманітних типових частинах генеральної сукупності (наприклад, якщо серед станків, на яких виготовляються деталі одні станки зношені, а інші – нові);

в) серійний – об’єкти із генеральної сукупності відбираються не по одному, а “серіями” і підлягають під суцільне (повне) дослідження (наприклад, якщо деталі випускаються великою партією на багатьох станках, то продукцію досліджують із кількох станків). Серійним відбором користуються, як правило, тоді, коли досліджувана ознака коливається у різних серіях несуттєво.

Часто на практиці користуються комбінованим відбором, під час якого поєднуються всі вище перераховані способи. Зокрема, генеральну сукупність розбивають на серії однакового об’єму, після чого простим випадковим відбором вибирають кілька серій із кожної з яких простим випадковим відбором вибирають окремі об’єкти.