Модель міжнародної торгівлі або лінійна модель обміну.

Нехай маємо n країн, які ведуть між собою торгівлю. Позначимо національний прибуток j-ї країни через d_j і будемо вважати, що цей прибуток формується з продажу своїх товарів як на внутрішньому, так і на зовнішньому ринку. Структуру торговельних відносин між країнами вважаємо усталеною і частка q_ij прибутку d_j j-ї країни яка витрачається на імпортування товарів з i-ї країни вважається сталою, зокрема q_ij не залежить від величини прибутку d_j.

Розглянемо матрицю Q=(q_ij), яка описує структуру торгівлі, та вектор прибутків d=(d₁…d_n). Якщо країни починають торгувати у відповідності до матриці обміну Q, то, очевидно, після одного обороту торгівлі країни матимуть прибуток, який описує вектор Qd:

Qd=( ).

Оскільки кожна з країн не бажає зменшити свій прибуток в результаті торгівлі, тому

d<=Qd (3).

Дослідимо детальніше (3). Оскільки елементи матриці обміну Q=(q_ij) є частинами прибутку j-ї країни, то, очевидно

j=1..n (4)

Твердження 1. Якщо вектор d задовольняє нерівність (3), то d=Qd.

▼ Доведення. Запишемо (3) в скалярному вигляді

i=1..n (5)

Будемо доводити від супротивного. Нехай при деякому нерівність (5) є строгою. Враховуючи це, отримаємо суму

Маємо протиріччя, що і доводить твердження 1.

▲

Економічне тлумачення твердження 1: Якщо при функціонуванні розглянутої моделі обміну хтось збагатився, то це обов’язково за рахунок когось із партнерів.

Тому природно виникає питання про існування і обчислення такого вектора прибутків країн-партнерів d, який справджує рівняння d=Qd в твердженні 1. Необхідна умова полягає в існуванні серед власних чисел матриці Q числа 1. Далі виникає питання про існування відповідного невід’ємного власного вектора.

Ще одне цікаве і важливе питання виникає при аналізі моделі обміну : якщо система функціонує з матрицею Q k турів, то маємо на кожному кроці (турі) такі вектори прибутків d, Qd, Q²d, Q³d, … , Q^kd . Цікаво дослідити асимптотику, при k ( ) поведінку вектора прибутків.

Для відповіді на ці та інші питання використовуємо апарат спеціального розділу теорії матриць – теорії невід’ємних матриць.

Теорія невід’ємних матриць.

Означення1. Довільна матриця А з дійсними і невід’ємними елементами називається невід’ємною.

Ми будемо розглядати невід’ємні квадратні матриці розміру n*n.

1. Нерозкладні матриці. Основні поняття.

Нехай - квадратна матриця розміру n з невід’ємними елементами , а

Означення 2. Нехай S - підмножина з . Якщо при , то множину S будемо називати ізольованою.

Приклад

S={3}

- ізольованих множин не має.

Економічна інтерпретація введеного поняття у випадку моделі Лєонтєва очевидна: якщо S ізольована множина, то галузі з множини S не використовують у виробничому процесі продукцію галузей, номери яких належить S’ , тобто група галузей з номерами з S може функціонувати незалежно від інших галузей. У випадку моделі обміну ізольованість множини S означає, що країни з номерами з S не імпортують товарів з країни з номерами , при цьому експорт, взагалі кажучи, можливий.

Перенумеруємо індекси так, щоб S= {1,2,…,k}. В матриці А це означає одночасну перестановку рядків і стовпчиків, після чого матриця А записується у вигляді:

(1)

де - квадратні блоки розмірів k*k і (n-k)*(n-k) відповідно.

Так, якщо в матриці А з прикладу виконати перестановку 1 і 3 стовпців, а потім 1 і 3 рядків, то будемо мати

k=1, n-k=2 і тепер S={1} і

Матрицю С жодними перестановками рядків і стовпців до виду (1) звести не можна.

Означення 3. Якщо для деякої матриці А розміру n*n у множині немає ізольованих підмножин, то таку матрицю будемо називати нерозкладною.

Нерозкладну матрицю А одночасними перестановками стовпців і рядків не можна звести до виду (1). Матриця А>0 будь-якого розміру нерозкладна. Якщо в матриці розміру n>=3 лише один елемент рівний 0, то така матриця нерозкладна.

Економічне тлумачення поняття нерозкладності матриці. Для моделі Леонтьєва кожна з галузей використовує принаймні непрямо продукцію всіх галузей з даної системи.

Так у випадку матриці С третя галузь продукцію другої галузі використовує безпосередньо, (бо але для виготовлення продукції другої галузі використовуються надходження з 1-ої і 3-ої: .