1. Определение зависимости статической ошибки сау от коэффициента регулятора

Используя пакет расширения символьной математики MATLAB (Symbolic Math Toolbox), получить передаточную функцию замкнутой САУ. Прировняв р = 0 и подставив значения постоянных коэффициентов передаточных функций блоков получить функцию, связывающую установившееся значение на выходе из системы с коэффициентами регулятора. Построить график полученной зависимости. Показать на графике границы изменения коэффициентов регулятора, обусловленных требованием к статической ошибке САУ.

Математическая модель САУ в виде структурной схемы, с известными передаточными функциями и коэффициентами, входящими в них, изображена на рисунке 1:

Рис.1. Структурно-функциональная схема САУ, для определения автоматического регулятора.

На рисунке 1 приняты следующие обозначения:

ЗТ - задатчик

РО - регулирующий орган

ИМ - исполнительный механизм

ТОУ — технологический объект управления

Передаточные функции элементов САУ известны и имеют вид:

Регулятор по каналу управления – идеальный ПИ-регулятор (без запаздывания):

>> syms Wu Wim Wpo Wd Wtou Ki Kp p

>> Wu=0,6;

>> Wim=1.6/(0.2*p+1);

>> Wpo=0.25;

>> Wd=1.5;

>> Wtou=(0.01045*p^2-0.003676*p+0.0004335)/(p^3+0.2089*p^2+0.01892*p+0.0004673);

>> pretty(Wtou);

>> syms Wp;

>> Wp=Kp+Ki/p;

Передаточна функция разомкнутой системы:

>> Wraz=Wp*Wim*Wu*Wpo*Wtou;

>> pretty(Wraz);

Передаточная функция замкнутой системы:

>> Wz=Wraz/(1+Wraz*Wd);

>> Wz1=simplify(Wz);

>> pretty(Wz1);

>> p=0;

>> Wz2=subs(Wz1)

Wz2 =

58203254946741091875/7566423143076342784

>> 58203254946741091875/7566423143076342784

ans =

7.6923

Таким образом, получили в установившемся (статическом) режиме:

То есть ошибка регулирования составляет:

,

и не зависит от коэффициента регулятора.

Ошибка регулирования в системе возникает из-за не единичного коэффициента усиления обратной связи.

Для того, чтобы обеспечить первое требование к САР, необходимо найти коэффициент усиления корректирующего звена, добавленного в обратную связь с целью обеспечить ее коэффициент усиления равный единице.

Введем в обратную связь передаточную функцию:

Для определения влияния коэффициента К_к на статическую ошибку выполним следующие действия:

>> syms kk

>> Wk=kk

>> Wraz=Wp*Wim*Wu*Wpo*Wtou;

>> Wz=Wraz/(1+Wraz*Wd*Wk);

>> Wz1=simplify(Wz);

>> Wz2=subs(Wz1);

>> syms dst

>> dst=7.6923/kk-1

dst =

76923/10000/kk-1

>> solve('7.6923/kk-1=0')

ans =

7.6923

Следовательно, для обеспечения первого требования к САР необходимо ввести в обратную связь корректирующее звено с передаточной функцией:

.

2. Определение границ устойчивости сау

Производится с помощью программного продукта SISO Design Tool, входящего в комплекс программ MATLAB.

Задаем требуемую систему управления, собираем математическую модель системы в Simulink, после чего соединяем ее с SISO Design Tool через LTI Viewer и экспортируем в рабочую область:

Рис.2.Структурная схема основы (G)

Рис.3.Структурная схема компенсатора (C)

Передаточная функция обратной связи, с учетом введенного корректирующего звена будет равна единице.

Необходимо обратить внимание на то, что передаточная функция регулятора, при переносе ее в SISO Design Tool, будет преобразована. Получившеюся передаточную функцию регулятора можно увидеть на вкладке Compensator Editor. На поле ввода Compensator Editor явным образом может быть задан коэффициент к_и. Значение коэффициента к_п может быть вычислено следующим образом:

Определяются границы устойчивости системы. То есть необходимо определить, при каких значениях к_и будет наблюдаться случаи, когда ΔL = 0 Дб. Поскольку регулируемых параметра два, то получим двумерную границу устойчивости.

С учетом особенностей программы, зададимся значениями к_И а полученные значения к_п будем вычислять для найденной границы устойчивости. Найденные значения будем записывать в таблицы 1 и 2.

Для нахождения границы устойчивости с установленным значением к_и будем перемещать ТОЛЬКО полюс передаточной функции регулятора. Поскольку полюс можно перемещать как влево в сторону уменьшения частоты, так и вправо в сторону увеличения частоты, то границу устойчивости, найденную на меньших частотах будем называть «левой границей», а границу, найденную на больших частотах «правой границей».

Наличие одновременно двух границ не обязательно, как не обязательно и отсутствие одной из границ. Также не следует забывать о существовании границ допустимых значений коэффициентов регулятора.

Таблица 1

Ки	Левая граница		Правая граница
	Кп/Ки	Кп	Кп/Ки	Кп
0,1	880	88	-	-
0,5	160	80	-	-
0,7	120	84	-	-
1	78	78	-	-
1,2	62	74,4	0,42	0,5
1,6	41	65,6	8,7	13,9

Рис.4. Границы устойчивости системы и область допустимых значений коэффициентов регулятора