5. Механические параметры кремния

При расчётах упругих элементов, выполненных из кристаллического кремния, часто пользуются теорией упругости изотропных тел. Поэтому желательно вычислить модуль сдвига, модуль Юнга, коэффициент Пуассона через упругие характеристики кремния. Поскольку кремний является анизотропным материалом, значение указанных параметров будет зависеть от выбранного направления и плоскости среза кристалла.

Ориентацией оси чувствительности тензорезистора в плоскости упругого элемента задаётся положение относительной системы координат. Относительную систему, связанную с ТР, а также оси координат и параметры материала, определённые относительно этих осей, будем отмечать штрихами. Если относительную систему координат выбрать так, чтобы две её оси и находились в плоскости упругого элемента (рис. 7), то для расчёта тензорезистора будут важны следующие коэффициенты: модули Юнга , ; коэффициенты Пуассона , ; модуль сдвига

Рис.7. Расположение относительной системы координат в кристаллографических плоскостях (001) и (011)

Заметим, что коэффициенты податливости s_pq определяются в условиях одностороннего на­пряжения (как и модуль Юнга), а коэффициент упругости c_pq – в условиях односторонней деформации. Коэффициенты упругости, определяемые в условиях односторонней деформации, всегда больше соответствующих коэффициентов, определяемых в условиях односторонней деформации: c₁₁ > 1/s₁₁. Таким образом, величина модуля Юнга ( ) по направлению, определяемому косинусами l, m, n, равна:

где коэффициент податливости, определённый по направлению оси чувствительности ТР.

В табл. 4 представлены аналитические выражения, характеризующие анизотропию модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля сдвига для кремния в плоскостях (100), (110), и (111).

Т а б л и ц а 3

Характеристики упругости кремния

Параметр	Плоскость
	(100)	(110)	(111)
Модуль Юнга Y, 1011 Н/м2			1,69
Модуль сдвига G, 1011 Н/м2			0,67
Коэффициент Пуассона ν			0,358

Итак, плоскость (111) является плоскостью изотропии упругих характеристик кремния, для других плоскостей: модуль упругости зависит от направления (около 30%), коэффициент Пуассона изменяется примерно в 2-3 раза и модуль сдвига изменяется примерно на 20% при изменении угла θ в пределах от нуля до 90^º.

Рис. 8. Модуль Юнга в функции направления деформации

Пример 1. Рассчитать для кремния модуль Юнга в направлении одной из кристаллографических осей. Необходимо вычислить коэффициент податливости кристалла кремния в направлении его кристаллографической оси, так как искомый модуль равен

Для нахождения коэффициента воспользуемся формулой

Подставляем в приведенные формулы значения коэффициентов и направляющих косинусов и вычисляем значение искомого модуля:

=1; =0; =0;

Если из табл. 4 извлечь соответствующую формулу и подставить то получим тот же результат.