3.3. Изгиб

Брусья, работающие на изгиб, называются балками. На расчетных схемах балки принято заменять их осями. Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых значений.

Изгибающий момент для балки, защемленной одним концом, будет иметь максимальное значение у места заделки, т. е.

.

В отличие от предыдущего случая для двухопорной балки необходимо предварительно определить реакции опор R_a и R_b..

; . Выражения найдены из уравнений изгибающих моментов, записанных относительно опор балки. Максимальное значение изгибающего момента соответствует опасному сечению балки в точке приложения силы F.

.

Условие прочности балки из пластичного материала имеет вид:

Где - изгибающий момент в опасном сечении, Н мм;

- момент сопротивления сечения при изгибе, мм³.

Для прямоугольного сечения ;

Для круглого сечения

Наиболее экономичны при изгибе такие формы сечения, при которых материал бруса расположен как можно дальше от нейтральной оси. Производятся стандартные профили (прокат) для балок – двутавр, швеллер и др.

Наличие эпюр напряжений позволяет определить опасное сечение балки, т.е. сечение в котором имеет место наибольшая величина внутренних силовых факторов.

3.4. Напряжения в контакте двух тел

Н апряженно - деформированное состояние в условиях контакта изучается в разделах теории упругости.

Контактные напряжения образуются в месте соприкосновения двух тел в тех случаях, когда размеры площадки касания малы по сравнению с размерами тел. Основоположником теории контактных напряжений является немецкий механик H. Herz. Контактные напряжения записываются σ , где индекс обозначен в честь ученого. Рассмотрим пример сжатия 2-х цилиндров (см. рис.)

Формула Герца для расчета контактных напряжений при сжатии двух цилиндров:

.

Здесь

; ; .

+ – для выпуклых поверхностей;

- – для вогнутых поверхностей.

При контакте цилиндра с плоскостью ρ₂ =

Где q – нагрузка на единицу длины контактной линии; ρ₁ u ρ₂ – радиусы цилиндров; b –длина контактной линии (длина цилиндров); Е₁ и Е₂ – модули упругости материалов цилиндров.

При вращении цилиндров (например, катков фрикционных пар) отдельные точки их поверхностей периодически нагружаются и разгружаются. Контактные напряжения в этих точках изменяются по прерывистому отнулевому циклу (см. рис.). Э то вызывает усталость поверхностных слоев деталей. Образуются микротрещины, и происходит выкрашивание мелких частиц металла. Чтобы не было усталостного малоциклового разрушения нужно ограничить величину контактных напряжений, т.е. выполнить условие: ,

,

где - допускаемое контактное напряжение.

Условие прочности для контакта цилиндров по линии запишется:

.

Это выражение используется для проверочного расчета, когда известна геометрия, т.е. ее размеры, материалы и нагрузки.

Допускаемые напряжения.

Для закаленной стали при твердости поверхности H₁,₂

= 1000…1200 МПа.

Для текстолита

= 80 …100 МПа.

Контактные напряжения в зубчатых передачах

Контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусами ρ₁ и ρ₂. При этом контактные напряжения определяются по формуле Герца, которую ранее применяли для расчета фрикционной передачи.

Сделаны допущения:

1. Хотя поверхность зуба не является поверхностью кругового цилиндра, но, как и там, здесь контактные напряжения распространяются на очень малый объем и практически зависят только от радиуса кривизны в точке контакта.

2. Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.

3. Ф ормула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.

Чтобы воспользоваться формулой Герца в виде

,

необходимо определить радиусы кривизны ρ₁ и ρ₂ эвольвент зубьев в точке контакта. Согласно рисунку (см. выше), они равны:

и .

Отсюда приведенный радиус кривизны:

где

( +) для наружного зацепления;

( ^­_) для внутреннего зацепления.

Подставляя в формулу Герца значения ρ_пр, значения удельной нагрузки q, c учетом формул для сил в зацеплении и, заменяя ,

получаем условие прочности по контактным напряжениям:

.

Параметр u=z₂/z₁ – отношение большего числа зубьев к меньшему числу. Отличается от передаточного отношения i, которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому;

Т₁ – вращающий момент не шестерне;

d_w1 – диаметр начальной окружности шестерни;

b_w – рабочая ширина зубчатого венца;

угол зацепления;

К_Н - коэффициент расчетной нагрузки передачи.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение . Формула условия прочности используется для поверочного расчета, когда известны все необходимые размеры и другие параметры передачи.