9) Законы больших чисел

Теорема (неравенство) Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по модулю меньше данного числа не менее чем

Теорема Чебышева. Если Х1 ,Х2 ,Х3 , ….. ,Хn- попарно независимые случайные величины, дисперсия которых не превосходит постоянной С, то для любого желаемого как можно малого , вероятность того, что

,

Будет стремиться к 1, когда n будет как можно большим

Теорема Бернулли

Коrда в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события постоянна и равнаp, то как угодно близка к 1 вероятность Toro, что отклонение относительной частоты от вероятности по модулю будет сколь уrодно мало, коrда число испытаний будет велико.

10)Двумерные СВ. Закон распределения. Функция распределения, плотность распределения и их свойства. Условные законы распределения двумерных СВ. Зависимые и не зависимые СВ.

Система случайных величин

Определение:

Системой случайных величин X,Y,Z,… называется совокупность этих величин, описывающих то или иное событие или явление.

Если система состоит из 2ух случайных величин X,Y – она называется двумерной.

Закон распределения системы случайных величин называется соотношением между возможными значениями случайных величин и их вероятностями.

Геометрический смысл:

1.Если система из 2ух величин либо точка в системе координат, либо вектор (двумерный).

2. Для 3ех в трехмерном пространстве точка или вектор.

1. Закон распределения для двумерной системы величин такой же как и для одномерной.

F(x,y) = P(X<x,Y<y)

0≤F(x,y) ≤1

2. F(x2,y2)>F(x1,y1) , x2>x1, y2>y1.

Это вытекает из геометрического смысла

3.F(-∞,y)=0

F(x,- ∞)=0

4.F(x, ∞)=F1(x)

F(∞,y)=F2(y)

F(∞,∞)=1

Все свойства присущие 2ум случайным величинам аналогичны большему кол-ву случайных величин.

Плотность распределения случайных величин.

Плотностью распределения системы случайных величин Х,У называется 2ая смешанная производная от функции распределения этой системы.

F(x,y)=

Найдем вероятность того, что случайная точка попадет в элемент четырехугольника.

x y+ y x+ y+ y

разность значений 2ух…по теореме Лагранжа

x y x+ x y

P(x ≤ X ≤ x + , y ≤ Y ≤ y + ) = F(x+ – F(x,y) – F(x+ ) – F(x, y + ) = F(x+ , y+ ) – F(x,y+ )- [F(x+ ,y)- F(x,y)]= - = = F(x,y) – получим в пределе.

- площадь элемент прямоуг.

F(x,y)= P/ вероятность/площадь = плотность вероятности

Свойства плотности распределения вероятности:

1.F(x,y)>0, т.к. F(x,y) возрастает.

2. = F(x,y)

3. = 1

4. = F1(x)

5. = F2(y)

Доказательство:

2 = =

ДОДЕЛАТЬ!

Условные законы распределения двумерных св. Зависимые и независимые св.

А) Условное распределение составляющих двумерных СВ

Вместо А: X<x B: Y<y

Условной функцией распределения СВ Х относительно СВ y1<Y<y2 называется условная вероятность выполнения неравенства X<x при условии y1<Y<y2 и обозначается:

x/y	x1	x2	…	xn
y1	P11	P12	…	P1n
y2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
ym	Pm1	Pm2	…	Pmn

B) Условная плотность распределения

Условной плотностью распределения 2-х СВ называют отношение плотности вероятности системы к плотности вероятности ее составляющих

С) Условное математическое ожидание

Полным математическим ожиданием для дискретных СВ называется: