2. Зчисленні множини та їх властивості.

Поняття зчисленної множини. Найпростіші властивості.

Озн. Множина М назив зчисленною, якщо M~N, де N – множина натуральних чисел, тобто існую бієкція .

Для зчисленною множини М існує бієкція , тобто і заповнюють усю множину M, тобто всі елементи M – перелічені ( ), отже, можуть бути пронумеровані.

Властивості.

1. Будь-яка нескінченна множина X має зчисленну підмножину.

Нескінченність множини X означає, що існують елементи ,

Виділена підмножина еквівалентна N, тобто зчисленна.

2. Якщо A,B – зчисленні множини складені з різних елементів, то - зчисленна множина.

Проведемо нумерацію елементів по стовчиках, тобто спочатку пронумеруємо перші елементи множин, потім другі і так далі, остаточно всі елементи будуть пронумеровані, а отже, множина є зчисленною.

Об'єднання зчисленної кількості зчисленних множин

Озн. Мн-на М наз. зчисленною, якщо , де мн-на натурал. чисел , т.т. бієкція .

Власт. Об’єднання зчисленної кількості зчисленних множин дає зчисленну множину.

Дов. об’єднання .

Нумерація по діагоналі:

1-ша:

2-га: , ;

3-тя: ,

Н-д, Елемент попаде в діагональ номером 2015, - .

Зчисленність множин цілих, раціональних чисел.

Зчисленна мн-на – це така мн-на, елементи якої можна бієктивно зіставити з усіма натуральними числами. Тобто, елементи такої множини можна занумерувати в нескінченну послідовність.

1. Множина всіх цілих чисел. Установимо відповідність між усіма цілими і всіма натуральними числами за такою схемою: тобто, невід’ємному числу зіставимо непарне число , а від’ємному - парне число :

Отже, мн-на цілих чисел зчисленна.

3. Незчисленність множини дійсних чисел [0; 1]. Множини потужності континууму та їх властивості.

Незчисленність чисел відрізку [0;1]

Теор. Мн-на не буде зчисленною.

Дов. 1) Рац.чисел з відрізку безліч:

2) Якщо припустити,що мн-на зчисленна, то всі дійсні числа з можна занумерувати, т.т. Будуємо дійсне число так:

беремо ;

беремо

……………………………………………..

Виникає дійсне число :

і будь-яких , різниця в разів після десяткової коми. Отримана суперечність доводить теорему.

Озн. Говорять,що мн-на дійсних чисел відрізку має потужність континуум. Тобто, мн-на є потужності континуум якщо вона еквівалентна .

4. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин. Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.

Озн. Точка а – гранична точка множини М, якщо деякий окіл точки а (деяка відкрита множина, що містить а) має нескінченну кількість елементів множини М.

Озн. Множина називається замкненою, якщо М містить всі свої граничні точки.

Властивості замкнених

1. Переріз замкнених множин – замкнена множина.

Дов. (F_n= замкнена множина) (F_n – відкрита мн.) буде відкрита замкнена C( )= _.

2. Об’єднання скінченної кількості замкнених – замкнена мн.

3. жодної точки не має, і граничної точки, тому замкнена.

4. Весь простір – замкнена мн. (бо містить всі точки, зокрема і граничні.)

Якщо F – замкнена мн., то тоді доповнення CF – відкрита мн.

5. Відкриті множини, властивості відкритих множин.

ОЗН: Множина, всі точки якої є внутрішніми називається відкритою.

Властивості:

Т: Об’єднання кількох відкритих множин є множина відкрита.

Т: Переріз скінченої кількості відкритих множин є множина відкрита.

Т: Доповнення замкненої множини є множина відкрита.

Т: Доповнення до відкритої множини є замкнена множина. Якщо із замкненої множини вилучити відкриту, одержимо замкнену множину. Якщо у відкритої множини вилучити замкнену, отримаємо відкриту множину.

Пр.: Дійсні числа

1. R\[1,2]=C_E

E=[1,2] – замкнена множина. За теоремою 5 С_Е – відкрита множина.

2. Е=(-∞;+∞) – відкрита за означенням (кожна її точка внутрішня)

З іншого боку множина порожня (Е=Ø, Е’=Ø, Е’⊂_ЕØ)

Е’=(-∞;+∞), Е’⊂_Е замкнена. Множина Е – відкрита.

3. Е=Ø – замкнена Е’⊂Е, з іншого боку , оскільки (-∞;+∞) замкнена, то доповнення – відкрита. Тому Е=Ø – відкрита.