Задание 1. Построение уравнения множественной регрессии методом включения

Постановка задачи.

Изучить влияние факторов, определяющих цену строящегося жилья в Санкт-Петербурге.

Таблица «Рынок строящегося жилья в Санкт-Петербурге» приведена в файле «Регрессия_Варианты_12.xls», его можно скачать из файлового архива сайта Горного института (www.spmi.ru). Фрагмент таблицы приводится на рис. 2.1

Р ис.2.1. Фрагмент таблицы с исходными данными.

Требуется:

1. Определить факторы, формирующие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге.

2. Построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Оценить адекватность полученной модели. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных и проанализировать ее.

3. Построить модель в линейной форме методом включения. Определить, какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели.

4. Построить графики остатков, выполнить визуальный анализ. Провести тестирование ошибок (остатков) уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

5. Оценить автокорреляцию остатков с помощью статистики Дарбина-Уотсона.

6. Написать уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе, пояснить экономический смысл его параметров.

7. Вычислить средние частные коэффициенты эластичности для факторов, вошедших в модель. Пояснить их экономический смысл.

Пример.

Пункт 1.

Предположим, что на стоимость строящего в Санкт-Петербурге жилья влияют все перечисленные в таблице факторы, т.е. общая и жилая площадь квартиры, площадь кухни, наличие балкона и число месяцев до окончания срока строительства. Наличие балкона – качественная характеристика, поэтому влияние этой характеристики на стоимость жилья учтем с помощью фиктивной переменной, которая будет принимать значение 0, если балкона нет и 1 – если балкон есть.

Введем следующие переменные:

y – цена квартиры, тыс.долл.

x₁ – общая площадь квартиры (кв.м)

x₂ – жилая площадь квартиры (кв.м)

x₃ – площадь кухни (кв.м)

x₄ – наличие балкона (1- есть, 0 – нет)

x₅ – число месяцев до окончания срока строительства.

Пункт 2.

Пользуясь надстройкой «Анализ данных – Регрессия» построим уравнение регрессии.

Рис. 2.2. Фрагмент отчета регрессии по пяти факторам.

Получили уравнение

Очевидно, что полученное уравнение противоречит практике, коэффициент при x₂ имеет знак «минус», то есть увеличение жилой площади уменьшает общую стоимость квартиры. Проанализируем межфакторную корреляцию. Для получения матрицы парных линейных коэффициентов корреляции воспользуемся надстройкой «Анализ данных – Корреляция».

Рис. 2.3. Корреляционная матрица.

Значения коэффициентов линейной парной корреляции высоки ; , что говорит о взаимозависимости этих факторов, то есть о мультиколлинеарности.

Полученное уравнение множественной регрессии, включающее весь имеющийся набор факторов, не адекватно. Возможная причина – мультиколлинеарность факторов, квлюченных в модель. Чтобы исключить взаимозависимые факторы, построим модель методом последовательного включения факторов.

Пункт 3.

Построение модели методом включения – это пошаговый отбор переменных.

На 1-м шаге (k=1) по наибольшему значению коэффициента корреляции с y найдем наиболее информативную переменную – это x₁.

Так как при k=1 величина R² совпадает с квадратом обычного (парного) коэффициента корреляции R² = r²(y,x), из матрицы корреляций находим наибольший коэффициент детерминации для набора однофакторных регрессионных моделей:

Аналогичный результат можно получить последовательно строя уравнения регрессии для зависимостей y-x_j с помощью табличной функции ЛИНЕЙН.

Таким образом, в классе однофакторных регрессионных моделей наиболее информативным предиктором (предсказателем) является x₁ – общая площадь квартиры. Включим эту переменную в выстраиваемую методом включения модель.

Вычислим скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации:

=0.939,

где k-количество факторов.

2-й шаг (k=2). Среди всевозможных пар (х₁ , х_j ), j = 2, 3, 4, 5, выбирается наиболее информативная (в смысле R² или, что то же самое, в смысле R²_adj ) пара:

Последовательно применяем табличную функцию ЛИНЕЙН к различным парам:

(х₁ , х₂) = 0.9396, (х₁ , х₃) = 0.9404,

(х₁ , х₄ ) = 0.9386, (х₁ , х₅) = 0.9646.

Очевидно, что наиболее информативной парой является (х₁ , х₅ ), которая дает

С включением параметра х₅ коэффициент детерминации вырос, следовательно, это правильное решение. Линейное уравнение с учетом факторов х₁ и х₅ имеет вид :

y (х₁, х₅) = 0.2283 + 0.5182 х₁ - 0.3208 х₅

Используя надстройку «Регрессия» проведем анализ значимости найденных коэффициентов.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	0,228369	0,850425	0,2685348	0,7891253
x1	0,518227	0,012072	42,926722	6,005E-50
x5	-0,32085	0,045923	-6,9865979	1,711E-09

Рис.2.4. Фрагмент отчета регрессии по двум переменным.

t-статистика

P-Значение

Столбец t-статистика содержит наблюдаемые значения t-критерия Стьюдента . Столбец «P-значение» используется для проверки гипотезы (о незначимости , i-го коэффициента регрессии) с помощью критерия Стьюдента. Столбец содержит вероятности того, что в силу случайных причин принимает это или большее значение, хотя коэффициент регрессии b_i =0. «P-значение» сравнивается с выбранным уровнем значимости α , если «P-значение» больше или равно α, то гипотеза подтверждается и коэффициент незначим, в противоположном случае коэффициент существенно отличен от 0, т.е. эначим. Рассмотрев столбец «P-значение» (рис.2.4) приходим к выводу: два коэффициента при независимых переменных (х₁ , х₅) статистически значимо отличаются от нуля при уровне значимости a = 0.05. Коэффициент 0.228 («Y-пересечение») не значим, и его следует исключить из уравнения. Таким образом, уравнение фактически имеет вид

y (х₁, х₅) = 0.5182 х₁ - 0.3208 х₅

3-й шаг (k = 3). Попытаемся добавить третью переменную в наше уравнение регрессии. Среди всевозможных троек (х₁ , х₅ , х_j), j = 2, 3, 4, выбираем аналогично наиболее информативную: (х₁, х₅, х₂), которая дает (3) = 0.9657, что больше, чем (2) = 0.9646, но незначительно. Вычислим частный критерий Фишера для оценки прироста факторной дисперсии, обусловленного включением в модель фактора х₂:

,

вычислим с помощью функции Еxcel FРАСПОБР(0,05;1;69)

Следовательно, третью переменную в модель включать нецелесообразно, т.к. она существенно не повышает значение . Этот же результат получим, применив надстройку «Регрессия» Отметим, что коэффициент при x₂ не значим.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-0,02438	0,849302	-0,0287	0,977192
x1	0,584663	0,039487	14,80634	1,67E-22
x5	-0,32403	0,045241	-7,16214	8,96E-10
x2	-0,11415	0,064699	-1,76425	0,082389

Рис. 2.5 Фрагмент отчета регрессии по трем переменным.

Уравнение

y(х₁,х₅) = 0.5182х₁ - 0.3208х₅

адекватно описывает зависимость стоимости квартиры от влияющих на нее факторов, и может быть использовано для анализа и прогноза. Все коэффициенты при неизвестных в нем значимы.

Пункт 4.

Для применения метода наименьших квадратов требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичнной. Это значит, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

Рассмотрим графики остатков для переменных x₁ и x₅ , полученные при построении уравнения регрессии с помощью надстройки «Анализ данных - Регрессия» (Рис. 2.6).

Визуальный анализ остатков (ошибок аппроксимации) по графикам не может однозначно исключить наличие гетероскедастичности.

Рис. 2.6. Графики остатков.

Нарушение гомоскедастичности может быть выявлено с помощью метода (теста) Гельфельда - Квандта. Предварительно все наблюдения упорядочим по одному из факторов, например по х₁.

Для применения теста Гельфельда-Квандта необходимо определить число исключаемых центральных наблюдений С. Из экспериментальных расчетов, проведенных авторами метода, рекомендовано при n=30 принимать C=8, а при n=60, – соответственно, С=16.

. Рис. 2.7 Организация данных при использовании теста Гельфельда-Квандта (часть строк скрыта). Сроки с 27 по 43 (#nn) исключены из рассмотрения

В рассматриваемом примере при n= 69 было исключено 17 наблюдений (С=17). Тогда в каждой группе будет по 26 наблюдений. Для первой группы наблюдений строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН(). Определяем остаточную сумму квадратов (S₁) для первой группы

Рис. 2.8 Результат работы функции ЛИНЕЙН для первой группы.

S₁=116.5617

Для второй группы наблюдений также строим уравнение линейной регрессии с помощью функции ЛИНЕЙН(). Определяем остаточную сумму квадратов (S₂) для этой группы

Рис. 2.9 Результат работы функции ЛИНЕЙН для второй группы.

S₂=119.292

F=S₁/S₂=1.02_; F_крит=FРАСПОБР(0.05;23;23)=2.01. F < F_крит, следовательно, гипотеза о гомоскедастичности остатков подтверждается.

Так как ошибки аппроксимации гомоскедастичны, применение МНК по данному условию корректно.

Пункт 5.

Для применения МНК требуется, чтобы значения остатков были распределены независимо друг от друга. Если это не так, то говорят, что остатки автокоррелированы.

Тестом на простейшую автокорреляцию ошибок (первого порядка) является тест Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson).

Рис.2.10 Организация данных для вычисления статистики Дарбина-Уотсона в Excel (часть строк скрыта, значения получим сдвигом на строку вниз столбца значений ).

Вычислим значение статистики d по формуле (2.20).

По таблице («Статистика Дарбина.htm») для n = 26 и p=3 находим критические значения D_U=1.67 и D_L=1.55. Поскольку остатки не коррелированы.

Так как значения остатков были распределены независимо друг от друга, применение МНК по данному условию корректно.

Пункт 6.

Выведем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Определим стандартизованные переменные:

Для определения коэффициентов стандартизованного уравнения множественной регрессии можно использовать МНК (2.4) или воспользоваться связью стандартизованных коэффициентов с полученными ранее коэффициентами множественной регрессии

Таким образом, уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:

В силу того, что стандартизованные переменные центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты можно сравнивать между собой, т.е. сравнивать факторы по силе воздействия. В нашем случае влияние первого фактора на результат более чем в шесть раз превышает влияние пятого фактора.

Замечание. Для вычисления средних значений и стандартных отклонений удобно воспользоваться надстройкой «Анализ данных – Описательная статистика».

Рис. 2.22. Отчет «Описательная статистика».

Пункт 7.

Рассчитаем средние частные коэффициенты эластичности по формуле 2.5, воспользовавшись результатами работы надстройки «Описательная статистика».

При изменении фактора х₁ на один процент результат возрастет на 1.05%, при неизменных прочих параметрах. Аналогично, при изменении фактора х₅ на один процент значение результирующего фактора уменьшится на 0.06%, при неизменных прочих параметрах.

Выводы.

• Уравнение y(х₁,х₅) = 0.5182х₁ - 0.3208х₅ адекватно описывает зависимость стоимости квартиры от влияющих на нее факторов и может быть использовано для анализа и прогноза. Все коэффициенты в нем значимы.

• Увеличение общей площади квартиры на 1 м² приводит к увеличению стоимости квартиры на 518$, увеличение (отдаление) срока сдачи на 1 месяц снижает стоимость квартиры на 321$. Влияние прочих факторов несущественно.

• Влияние общей площади квартиры на ее стоимость более чем в шесть раз превышает влияние срока сдачи объекта на стоимость.

• При изменении цены общей площади квартиры на один процент стоимость квартиры возрастет на 1.05%, при неизменных прочих параметрах. Аналогично, при изменении срока сдачи квартиры на один процент стоимость квартиры упадет на 0.06%, при неизменных прочих параметрах.

• Проверка корректности применения МНК показала, что ошибки аппроксимации (значения остатков) гомоскедастичны и распределены независимо друг от друга.