2. Булевы функции

С помощью таблиц истинности установить равносильны ли следующие формулы и ; построить ДНФ для выражения и КНФ для выражения :

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

2.8. .

2.9. .

2.10. .

3. Логические высказывания

Описать логическими формулами составные высказывания, построить таблицу истинности для первого и второго высказывания и проверить правильность приведенных в высказывании рассуждений.

3.1. Если функция непрерывна на данном интервале и имеет разные знаки на его концах, то внутри данного интервала функция обращается в ноль. Функция не обращается в ноль внутри данного интервала, но на концах имеет разные знаки. Следовательно функция разрыва.

3.2. Если функция непрерывна на данном интервале и внутри его обращается в ноль, то функция имеет разные знаки на концах данного интервала. Данная функция разрывна. Следовательно, она имеет разные знаки на концах интервала и внутри его не обращается в ноль.

3.3. Если функция имеет разные знаки на концах данного интервала, а внутри интервала не обращается в ноль, то функция разрывна. Данная функция непрерывна на заданном интервале. Следовательно, функция внутри данного интервала обращается в ноль или имеет разные знаки на его концах.

3.4. Если функция непрерывна на данном интервале и имеет одинаковые знаки на концах данного интервала, то внутри его функция не обращается в ноль. Данная функция непрерывна, следовательно, на концах интервала функция имеет разные знаки.

3.5. Если функция непрерывна на данном интервале и внутри его не обращается в ноль, то функция имеет одинаковые знаки на концах данного интервала. Функция имеет одинаковые знаки на концах интервала, но обращается в ноль внутри его. Следовательно, функция разрывна.

3.6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3. Число не делится на 6, но делится на 3. Следовательно, оно не делится на 2.

3.7. Если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3. Число не делится на 6, но оно делится на 2. Следовательно, оно не делится на 3.

3.8. Если число не делится на 2 или на 3, то оно не делится на 6. Данное число четное, но оно не делится на 3. Следовательно, оно не делится на 6.

3.9. Если число делится на 2 и на 3, то оно не делится на 6. Данное число делится на 2. Следовательно, если оно четное, то оно не делится на 6.

3.10. Если число делится на 2 и на 3, то оно не делится на 6. Данное число делится на 3. Следовательно, если оно не четное, то оно не делится на 6.

4. Графы и сети

Заданный граф описать следующими способами:

1) множеством вершин и ребер;

2) матрицей инцидентности;

3) списком ребер;

4) матрицей смежности.

Привести примеры маршрута, цепи, простой цепи; определить в графе циклический маршрут, цикл, простой цикл. Построить Эйлеров и Гамильтонов циклы.

4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4.7 4.8

4.9 4.10

5. Комбинаторные задачи

Решить следующие комбинаторные задачи:

5.1. Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

5.2. При передаче сообщений по телеграфу используется код Морзе. В этом коде буквы, цифры и знаки обозначают точками и тире. Для одних букв минимум один знак, а для некоторых букв используется пять знаков. Почему необходимо пять знаков? Нельзя ли обойтись меньшим числом?

5.3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску восемь ладей?

5.4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждую из них можно использовать не более одного раза?

5.5. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5?

5.6. На одной из боковых сторон треугольника взято п точек, на другой — т точек. Каждая из вершин при основании треугольника соединена прямыми с точками, взятыми на противоположной стороне. Сколько точек пересечения этих прямых образуется внутри треугольника?

5.7. Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

5.8. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?

5.9. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется: хотя бы один туз?

5.10. В роте имеется три офицера и сорок солдат. Сколькими способами может быть выделен наряд, состоящий из одного офицера и трех солдат?