2. Теоретические основы

лопастных машин

2.1. Физические основы рабочего процесса

лопастных машин

Силовое взаимодействие лопаток рабочего колеса с потоком текучего (передача энергии от лопаток потоку) является основой работы машины. Современная теория такого взаимодействия создана Н.Е.Жуковским [3].

Если в потоке выделить контур l (рис.15, а), а на нем элементарный участок dl, скорость в центре которого равна , то циркуляция скорости по контуру равна

Г = ∮_ldl,

где _l =  cos – проекция вектора скорости на касательную к контуру.

Рис.15. Схема циркуляции по контуру

Простейший пример циркуляции – движение вязкой жидкости вокруг вращающегося в ней вала. Частицы жидкости движутся по концентрическим окружностям с постоянной на данном радиусе скоростью.

Пренебрегая рассеиванием, энергия циркуляции не зависит от контура, по которому определяется. Таким образом, циркуляция по контуру с радиусами r и R соответственно составит

Г_r = 2r_r и Г_R = 2R_R.

Так как по определению Г_r = Г_R, то

_r = R_R/r; _R = r_r /R, (13)

т.е. скорость жидкости с удалением от ротора стремится к нулю.

Для циркуляции справедлива зависимость закона Д.Бернулли

P/g + z + /2g = const, (14)

где z – расстояние по вертикали до плоскости сравнения.

Отсюда видно, что с ростом скорости давление снижается; так как давление есть величена конечная, то существует предел роста скорости. Рассмотрим картину в горизонтальной плоскости, где z = 0. Здесь при r =  в соответствии с (13)  = 0, а Р = Р_атм и тогда справедливо выражение

Р + ²/2 = Р_атм.

Если контур не охватывает ни вихря, ни ротора, то циркуляция по нему равна нулю.

Циркуляция по контуру, охватывающему несколько вихрей или роторов, равна сумме циркуляций.

Пусть имеются два вращающихся ротора (рис.15, б), циркуляции вокруг которых Г₁ и Г₂ и надо найти Г_АДСВА. Соединим А и С произвольной линией. Тогда Г₁ = Г_АДС + Г_СА и Г₂ = Г _СВА + Г_АС, отсюда Г_АДС = Г₁ – Г_СА и Г_СВА = Г₂ – Г_АС, так как Г_СА – Г_АС, то Г_АДСВА = Г_АДС + Г_СВА = Г₁ + Г₂.

Рабочие колеса лопастных машин представляют собой решетку, состоящую из лопаток обычно крыловидного профиля.

Крыло – хорошо обтекаемое тело конечной длины, имеющее закругленную переднюю и острую заднюю кромки. Одна сторона выпуклая, другая плоская или слабо вогнутая.

Пусть скорость плоскопараллельного потока жидкости, обтекающего крыло (рис.16), на бесконечном удалении равна _. Набегающий поток в точке А делится на две части и при отсутствии срывов, пройдя над и под крылом, сольется в точке В, что возможно только при скорости в точке С больше скорости в точке Д, так как кривизна поверхности АСВ больше АДВ. Подобная картина будет наблюдаться при наложении на плоскопараллельный поток циркуляционного и зависимости (14), поэтому снизу на крыло будет действовать давление большее, чем сверху, а их разность образует подъемную силу.

Впервые теорема о подъемной силе крыла была доказана Н.Е.Жуковским. При обтекании крыла идеальной жидкостью подъемная сила равна произведению плотности жидкости, скорости невозмущенного потока, длины профиля и циркуляции скорости по контуру и направлена перпендикулярно к вектору _.

Рис.16. Обтекание плоскопараллельным потоком крылового профиля

R_y = _lГ. (15)

Подъемную силу аналитически вычислить достаточно трудно вследствие отсутствия данных для расчета циркуляции Г, так как при обтекании реальной вязкой жидкостью вектор подъемной силы не перпендикулярен _ вследствие появления силы лобового сопротивления R_х (рис.16).

Значения составляющих реальной подъемной силы определяются экспериментально продувкой крыльев в аэродинамических трубах.

Обработка опытных данных производится по формулам:

R_y = C_ybl_²/2; R_x = C_xbl_²/2, (16)

где C_y и C_x – коэффициенты подъемной силы и силы лобового сопротивления, полученные в функции угла атаки ; bl – площадь крыла атаки; _²/2 – гидродинамическое давление.