Модель Дебая

Дебай, сохранив основную идею Эйнштейна, существенно усовершенствовал теорию теплоемкости. В модели Дебая кристаллическая решетка рассматривается как связанная система взаимодействующих атомов. Колебания такой системы являются результатом наложения многих гармонических колебаний с различными частотами. Под гармоническим осциллятором той или иной частоты теперь надо понимать колебания не отдельного атома, а всей системы в целом. То есть в твёрдом теле существует целый набор частот колебаний, называемым спектром. Колебания в данном случае являются упругими колебаниями, ответственными за распространение звука в твёрдом теле, а скорость звука  в этой среде равна

,

где Е – модуль Юнга, ρ – плотность твердого тела.

Задача сводится к нахождению спектра частот этих осцилляторов. Это достаточно сложно. Дебай упростил задачу. Он обратил внимание на то, что при низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят колебания (осцилляторы) низких частот, которым соответствуют малые кванты энергии h. Практически только такие колебания и возбуждены при низких температурах.

В квантовой теории энергию звуковых колебаний h рассматривают как особые частицы (квазичастицы) фононы. Число возможных частот колебаний бесконечно велико. Число же атомов в твёрдом теле хотя и очень велико, но конечно (порядка 10²² в 1 см³). Поэтому необходимо принять, как это сделал Дебай, что в твёрдом теле спектр колебаний ограничен некоторой максимальной частотой _m. Из теории Дебая следует, что, начиная с некоторой температуры , которую называют характеристической температурой Дебая или температурой Дебая, теплоёмкость начинает быстро убывать с понижением температуры. Это та температура, при которой энергия тепловых движений k становится равной максимальной энергии осцилляторов:

отсюда можно определить температуру Дебая

(16)

При температурах значительно меньших Θ, теплоёмкость убывает пропорционально третьей степени температуры (закон Т³), при температурах больших Θ теплоемкость стремится к значению 3R, что соответствует опытным данным.

Температура Дебая  может считаться границей между высокими и низкими температурами, причем не только для теплоемкости. Эта граница для каждого твердого тела определяет область температур, где становится существенным квантование энергии.

С точки зрения квантовой теории теплоёмкости тот факт, что некоторые вещества (алмаз, кремний, бор и др.) не подчиняются закону Дюлонга и Пти даже при комнатных температурах, объясняется именно тем, что у этих веществ характеристическая температура Дебая настолько высока, что комнатная температура должна считаться низкой. Например, в случае алмаза характеристическая температура оказывается равной 2000^оС.

Измерение теплоёмкости и её температурного хода играют большую роль в исследовании твёрдых тел. Это связано с тем, что теплоёмкость непосредственно определяется колебаниями атомов в кристаллической решётке. Характер этих колебаний должен зависеть от структуры решётки, от её симметрии, и т.д. Из-за этого во многих случаях превращения, которые могут происходить в веществе, сопровождаются различными аномалиями теплоёмкости.

В частности, фазовые переходы второго рода, при которых скрытая теплота перехода не выделяется (и не поглощается), сопровождаются скачком теплоёмкости, разрывом в её монотонном изменении с температурой. Исследуя температурный ход теплоёмкости, можно обнаружить такие превращения.