Определение параметров уравнения регрессии

Любой экономический показатель практически всегда определяется совокупностью факторов. В этом случае вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия. Исходные данные для множественного регрессионного анализа (МРА) представляют собой таблицу (матрицу) следующего вида:

№	X1	X2	…	Xm	y
1	x11	x12	…	x1m	y1
2	x21	x22	…	x2m	y2
…	…	…	…	…	…
N	ХN1	ХN2	…	ХNm	YN

Строки этой таблицы соответствуют наблюдениям, а столбцы – переменным. Все переменные при этом должны быть измерены в количественной шкале. Одна из переменных определяется как зависимая, а остальные (или часть их) – как независимые переменные. Допускается, что часть значений зависимой переменной неизвестны, и их определение (оценка) может составлять важный результат анализа.

МРА может применяться как для решения прикладных задач, так и в исследовательских целях. Обычно МРА применяется для изучения возможности предсказания некоторого результата по ряду предварительно измеренных значений факторов. При этом предполагается, что связь между одной зависимой переменной (Y) и несколькими независимыми переменными (X) можно выразить линейным уравнением:

где y – зависимая переменная; х₁,..., х_m – независимые переменные; a, a₁,...,a_m – параметры модели; e – ошибка предсказания.

Например, при можно при помощи МРА определить:

• зависимость оплаты труда (y) сотрудника от степени ответственности, количества подчиненных, стажа работы, уровня образования и других показателей.

• зависимость урожайности от внесения органических удобрений, минеральных удобрений, оснащенности с/х техникой и т.п.

Помимо предсказания и определения степени его точности МРА позволяет определить и то, какие показатели («независимые переменные) наиболее существенны, важны для предсказания, а какими переменными можно пренебречь, исключив их из анализа. Тогда МРА выступает как инструмент исследования влияния факторов на зависимую переменную. При этом определение направления причинно-следственной связи не является задачей метода, метод определяет только ее количественное выражение.

Проверка общего качества уравнения регрессии

*** Рассмотрим методику проверки общего качества построенной многофакторной корреляционной модели

(без использования компьютера):

Для определения тесноты связи используется коэффициент множественной корреляции R

упр это расчетное значение результативного показателя

уi это фактическое значение результативного показателя

уср среднее фактических значений результативного показателя

№	факт уi	расчет по модели упр
1
2
…
20

Таким образом, в числителе формулы имеем выражение, определяющее необъяснимую вариацию:

Ч ем совершеннее модель, тем упр ближе к уi

В идеале

К оэффициент детерминации определяет на сколько процентов учтенные в корреляционной модели факторы объясняют изменение результативного показателя

Для простого расчета

Модель устойчива, если D>70%

Следовательно если R>=0,83 то модель устойчива

Для анализа статистической значимости полученных коэффициентов множественной линейной регрессии необходимо определить существенность коэффициентов регрессии a₁,...,a_m..

Для этого надо оценить дисперсию и стандартные отклонения коэффициентов a, a₁,...,a_m .

Д ля определения - ошибки j-го коэффициента регрессии надо рассчитать дисперсии и стандартные отклонения по Х и по Y

Где n – количество наблюдений

Производим сравнение

После построения уравнения регрессии возникает необходимость проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии, что делают с помощью t-критерия Стьюдента. Расчетные значения данного показателя сравнивают с критическими, которые определяют по таблице с учетом принятого уровня значимости ( = 0,10;  = 0,05 или  = 0,01) (при изучении социально-экономических явлений достаточным считается уровень значимости, равный 0,05) и числа степеней свободы  = n – m – 1 (где n – число наблюдений; m – число факторов уравнения, включая результативный). Параметр признается значимым, если t_расч.  t_табл.

У прощение:

Если есть коэффициент регрессии, для которого условие не выполняется, то из уравнения исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. После этого уравнение регрессии строится без исключенного фактора и снова проверяется значимость коэффициентов регрессии. Такой процесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в уравнении только существенных (действительно влияющих на результативный показатель) факторов.

Иногда расчетные значения t-критерия ниже критического значения для факторных признаков, имеющих достаточно тесную связь с результативным. Это связано с проявлением эффекта мультиколлинеарности, когда два и более признака, оказывающих влияние на результативный, тесно связаны друг с другом. В таком случае включение одного из них (наиболее значимого) в уравнение регрессии позволяет учесть и влияние других.

Общую оценку адекватности (правдивости) уравнения дает критерий Фишера

Как определить F численно?

Полученное значение критерия (F_расч.) сравнивают с критическим (табличным) (F_табл.) для принятого уровня значимости ( = 0,05 или  = 0,01 и числа степеней свободы (₁ = m – 1 и ₂ = n – m, где n – число наблюдений, m – число факторов уравнения, включая результативный). Если оно окажется больше соответствующего табличного значения, то данное уравнение статистически значимо, т. е. доля вариации, обусловленная регрессией намного превышает случайную ошибку. Таким образом проверенную модель можно использовать в практических целях