9.5. Заключение
Для большого числа
задач по расчету СМО известны конечные
формулы, полученные путем, аналогичным
приведенному выше. Например, случай,
когда имеется n
каналов обслуживания, но очередь не
допускается (n-канальная
СМО с отказами), называют задачей Эрланга.
Для такой системы число состояний
соответствует числу занятых каналов,
а состояние
– отсутствию заявок. В этом случае
интенсивность перехода к состоянию с
меньшим числом занятых каналов
пропорциональна числу используемых
каналов. В расчетные формулы входит
интенсивность потока заявок
,
которая показывает среднее число заявок,
поступающих за время обслуживания одной
заявки. Вероятность отсутствия заявок
(свободного состояния системы) будет:
.
Вероятность того,
что заявка будет обслужена (применительно
к задаче телефонии – это вероятность
получить соединение с АТС):
,
среднее число занятых каналов:
.
Если определить величину затрат на увеличение числа каналов обслуживания и прирост дохода от увеличения числа обслуженных заявок, то получим возможность оптимального решения задачи. Такую задачу приходится решать, например, провайдеру, обслуживающему Интернет.
Для случая
неограниченной длины очереди
вероятность свободного состояния:
.
Средняя длина очереди:
.
Аналитические зависимости разработаны для большого числа задач, но они всегда предполагают марковский характер процесса и определяют только стационарное состояние системы. Поэтому получил широкое распространение метод имитационного моделирования СМО, который позволяет анализировать системы с любой структурой. Он основан на многократном «проигрывании» функционирования системы. При этом как момент поступления очередной заявки, так и продолжительность ее обслуживания (если она будет обслуживаться) задаются конкретными значениями, полученными на основе датчиков псевдослучайных чисел. С малым шагом по времени рассчитываются последовательные состояния системы. Если накопить достаточное количество таких реализаций поведения системы, то обычной статистической обработкой можно найти искомые характеристики системы с желаемой степенью точности. Для сложных систем метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического подхода, а в ряде случаев ему просто нет альтернативы.
Существуют пакеты прикладных программ, которые позволяют задавать структуру моделируемой системы и устанавливать параметры потоков случайных событий. В случае необходимости можно использовать языки программирования, предназначенные для таких задач. Если ограничиться использованием такой программы, как Excel, то посредством ее встроенных средств просто получить на отдельных листах реализации случайных потоков, но расчет их взаимодействия придется выполнять своими силами.