3.11. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины.
Закон распределения случайной величины является исчерпывающей характеристикой, которая полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако во многих практических задачах нет надобности в таком полном описании и достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения.
Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и определяется по формулам:
где mX обозначает число, полученное после вычислений по формуле (5.1);
M[X] – оператор математического ожидания.
Как видно из (5.1), в качестве математического ожидания используется «среднее взвешенное значение», причем каждое из значений случайной величины учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.
Физический смысл математического ожидания – среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано
вместо случайной величины в приблизительных расчетах или оценках.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. M[c] = c.
Доказательство. Рассмотрим константу c как случайную дискретную величину, которая принимает одно значение c с вероятностью р = 1.
2.
Доказательство:
Доказательство:
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формулам:
Свойства дисперсии:
К ним можно отнести моду,медиану и квантиль.
3.12. Упражнение к главе 3.
Задача 1.
Два охотника одновременно и независимо стреляют в кабана.Известно, что первый охотник попадает в цель с вероятностью р= 0,8, а второй - с вероятность 0,4. Кабан убит, и в нем обнаружена одна пуля.
Как делить кабана?
Делить кабана следует пропорционально условным вероятностям попадания каждого охотника при условии, что в кабане только одна пуля.
Пусть А - событие,котолрое заключается в том,что в кабане имеется одна пуля.
Выберем полную группу событий:
1) не попал ни первый
охотник,ни второй -
.
2) попал первый,не попал
второй -
.
3) не попал первый,
попал второй -
.
4) попал и первый и
второй -
.
Необходимо найти условные
вероятности
и
,так
очевидно, что из 4х событий, только эти
два являются достоверными:в кабане
имеется одна пуля и оба охотника стреляли
в него.
По формулам умножения вероятностей независимых событий имеем:
и
, где
-
вероятность попадания первого охотника,
- вероятность попадания второго
охотника;
-
вероятность промаха первого охотника,
-
вероятность промаха второго охотника.
Применяя формулу Байеса
, где i не равно j ,
и
О
получим:
Говоря иными словами, кабана следует разделить в отношении
6:1.
Задача 2.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 1/3. Производится 6 выстрелов.
Какова вероятность ровно 2х попаданий?
Обозначим событие А = { попадание при одном выстреле}, p = p(A) = 1/3; q = 1 - p = 2/3. Число выстрелов n = 6.
Считаем, что выстрелы не зависят друг от друга.
Тогда ответ на первый вопрос находим по формуле Бернулли:
И так, вероятность ровно 2х попаданий близка к 1/3.
Задача 3.
Среди 100 лоторейных билетов есть 5 выйгрышных. Найти вероятность того, что 2 выбранных наудачу билета окажутся выйгрышными.
Введем обозначения событий:
А - 1ый билет оказался выйгрышным.
В - 2ой билет оказался выйгрышным.
Тогда, вероятность того,что:
1ый билет окажется выйгрышным р(А) = 1/5 = 0,2.
2ой билет окажется выйгрышным р(В) = 1/4 = 0,25 (при условии, что произошло событие А).
Искомая вероятность того, что 2 выбранных наудачу билета окажутся выйгрышными равна:
р(АB) = р(А)р(В) = 0,2 х 0,25 = 0,05 (при условии, что вероятность выйгрыша р = 5/100 = 0,05 - см.условие задачи).
И окончательно, р(АB) = р(А)р(В)р = 0,05 х 0,05 = 0,0025.
Задача 4.
В читальном зале имеется 6 учебников по Теории вероятностей, из которых 3 в переплете. Библиотекарь взял наугад 2 учебника.
Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Пусть событие А заключается в том,что 1ый взятый учебник имеет переплет, а событие В заключается в том,что 2ый взятый учебник тоже имеет переплет.
Тогда р(А) = 3/6 = 0,5.
А условная вероятность р(В) = 2/5 = 0,4 (при условии,что событие А произошло.
Искомая вероятность р(АВ) = р(А)р(В) = 0,5 х 0,4 = 0,2.
Задача 5.
Найти математическое ожидание дискрентой случайной величины (ДСВ) Х , заданной законом распределения:
Х = - 4, 6, 10 соответственно р = 0,2 , 0,3 , 0,5.
По формуле для математического ожидания ДСВ находим:
М(Х) = х1р1 + х2р2 + х3р3 = (-4 )0,2 + 6 (0,3) + 10 (0,5) = 6
Задача 6.
Среди приведенных таблиц распределения дискретной случайной величины X есть две неверные (невозможные).
Найдите эти таблицы.
Таблица 1
Ответ: таблицы 2 и 4.
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
Таблица 5
