Вопрос 9. Модели, построенные с применением теории массового обслуживания.

На вход системы массового обслуживания в случайные промежутки времени поступают заявки, подлежащие обслуживанию системой. Время обслуживания также является случайным. Обслуживать заявки может один канал (одноканальная система) или несколько каналов (многоканальная система). Если все каналы заняты, поступающая заявка становится в очередь. Заявки из очереди могут обслуживаться как в порядке их поступления, так и в определённой последовательности (существует определённый порядок сортировки очереди – дисциплина обслуживания).

Таким образом, система массового обслуживания характеризуется следующим набором параметров:

• распределением длительности интервалов между заявками входящего потока Р(а),

• числом обслуживающих приборов (каналов),

• дисциплиной обслуживания очереди,

• распределением длительности обслуживания заявок приборами (каналами) Р(b).

Указанный набор параметров полностью определяет порядок функционирования системы. Процесс её функционирования количественно оценивается следующим набором основных характеристик:

• загрузка – математическое ожидания числа занятых обслуживанием каналов (для одноканальной системы – доля времени, в течение которого канал занят обслуживанием заявок);

• длина очереди – математическое ожидание числа заявок, ожидающих обслуживания;

• число заявок, находящихся в системе (обслуживаемых и в очереди);

• число заявок, находящихся в очереди;

• время ожидания обслуживания – время от момента поступления заявки до начала её обслуживания;

• время нахождения заявки в системе (время нахождения заявки в очереди плюс время обслуживания).

Моделирование одноканальной системы массового обслуживания.

Рассмотрим наиболее простой случай применения теории массового обслуживания в моделировании:

• поток заявок простейший и определяется интенсивностью их поступления ;

• поток обслуживания заявок тоже простейший, интенсивность обслуживания – .

Поскольку потоки поступления заявок и их обслуживания простейшие, за достаточно малое время t в систему может поступить только одна заявка и покинуть систему тоже может только одна заявка.

За время t с вероятностью t поступит одна заявка и с вероятностью t очередная заявка будет обслужена. Очевидно с вероятностью 1-t ни одна заявка в систему не поступит и с вероятностью 1-t ни одна заявка не будет обслужена.

Обозначим через Р_n (t) вероятность того, что в момент времени t в системе будет ровно n заявок. Рассчитаем вероятность того, что в момент времени t+t в системе окажется ровно n заявок. Возможны четыре ситуации, приводящие к этому исходу:

• в момент времени t в системе было n-1 заявок, за время t поступила одна заявка и ни одна не была обслужена. Вероятность этого события равна: P_n-1(t)t(1-t);

• в момент времени t в системе n заявок, ни одна не поступила и ни одна не обслужена: P_n(t)(1-t)(1-t);

• в момент времени t в системе n заявок, одна поступила и одна обслужена: P_n(t) tt;

• в момент времени t в системе n=1 заявка, ни одна не поступила, одна обслужена: P_n+1(t)(1-t)t;

Вероятность того, что в момент времени t+t в системе останется ровно n заявок, равна сумме указанных выше вероятностей:

P_n(t+t)=P_n-1(t)t(1-t)+ P_n(t)(1-t)(1-t)+

+ P_n(t) tt+ P_n+1(t)(1-t)t.

Раскроем скобки, исключим слагаемые, в которых содержится t в квадрате (величины второй степени малости), перенесём влево P_n(t) и разделим левую и правую части на t.

Устремив t к нулю, получим следующее дифференциальное уравнение:

Это уравнение описывает все возможные ситуации, кроме случаев, когда n=0.

Возможны два независимых случая, когда в момент времени t+t в системе нет заявок:

• в момент времени t в системе нет заявок, за время t они не поступали. Вероятность этого события равна: P₀(t)(1-t);

• в момент времени t в системе одна заявка, она обслужена, другие заявки не поступали: P₁(t)(1-t)t.

Следовательно, P₀(t+t)= P₀(t)(1-t)+ P₁(t)(1-t)t.

Выполнив такие же аналогичные преобразования, получим второе уравнение:

В установившемся режиме вероятности P_n(t) не зависят от времени, поэтому их производные по времени равны нулю. В результате этого получим систему алгебраических уравнений:

-P₀+P₁=0, n=0,

P_n-1 - P_n(+ + P_n+1, n0.

Введём обозначение: . Из первого уравнения получим P₁=P₀.

Пусть n=1, тогда второе уравнение примет вид:

Преобразовав его, получим P₂=P₀ ². Приняв n=2, получим P₃=P₀ ³. Постепенно увеличивая n, получим P_n=P₀ ⁿ.

Поскольку P_n=1, получим P_n= P₀  ⁿ=1. Поскольку , под знаком суммы находится геометрическая прогрессия, её сумма равна 1/(). В результате этого получим: P₀=, P_n=ⁿ1 .

Определим перечисленные выше характеристики системы:

• вероятность занятости канала (доля времени, в течение которого канал занят) – Р_ож=1-Р₀ =;

• вероятность наличия очереди (n ) равна Р _n = 1 – Р₀ – Р₁ =  ²;

• среднее число заявок, находящихся в системе:

n_ср= nP_n= (1-) nⁿ=(1-) n^n-1=(1-)   ⁿ =

=(1-) (1 / (1-)) =  /(1-).

Обратите внимание на то, что после выноса  за знак суммы, под знаком суммы оказалась производная от ⁿ;

• среднее число заявок, ожидающих обслуживания (длинна очереди), равно n_ож= n_ср - 1;

• среднее время нахождения заявки в системе (ожидающих в очереди и обслуживаемых) – T_ср=n_ср/;

• среднее время ожидания обслуживания – Т_ож= Т_ср-1 / .