2.2. Движение идеальной жидкости

Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью называется идеальной.

Гидростатическое давление столба жидкости высотой и плотностью определяется выражением:

.

Согласно закону Паскаля давление, производимое на жидкость или газ, передается по всем направлениям без изменения.

На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх и равная весу жидкости (газа), вытесненной телом.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Бернулли:

,

где – статическое давление, – плотность жидкости, – скорость ее движения, – высота трубы.

Т.е. сумма статического, динамического и гидравлического давлений в движущейся жидкости постоянна.

Уравнение неразрывности струи:

,

т.е. произведение площади сечения трубы на скорость течения жидкости есть величина постоянная.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 2.15

В конструкции зубоврачебного кресла предусмотрен подъемник, действующий по принципу гидравлического пресса. Какое усилие должен приложить врач-стоматолог к педали кресла для подъема пациента массой кг, если площадь малого поршня подъемника см², а большого – см²?

Решение

Сила , прилагаемая к педали подъемника, относится к весу пациента как площадь малого поршня относится к площади большого поршня:

. (1)

Из (1) можно выразить искомое усилие:

. (2)

Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

Н.

№ 2.16

Малый поршень гидравлического подъемника зубоврачебного кресла под действием усилия на педаль Н опустился на расстояние см. При этом кресло поднялось на см. Определите массу пациента с креслом.

Решение

Сила , прилагаемая к педали подъемника, относится к весу пациента с креслом как ход большого поршня относится к ходу малого поршня :

. (1)

Из (1) можно выразить массу пациента с креслом:

. (2)

Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

кг.

№ 2.17

При прыжке с трамплина в воду ныряльщик погружается на глубину м. Какое давление, избыточное над атмосферным, испытывает при этом его барабанная перепонка? Плотность воды кг/м³.

Решение

Избыточное давление на барабанную перепонку определяется гидростатическим давлением столба воды:

,

где – ускорение свободного падения.

Подставляя численные значения величин, входящих в приведенное выражение, получим:

кПа.

№ 2.18

Для промывания наружного слухового прохода используется шприц Жанэ. Струя раствора фурацилина падает на барабанную перепонку со скоростью м/с и стекает по ней. Каково давление струи раствора на перепонку? Плотность раствора принять кг/м³.

Решение

Давление струи на перепонку может быть записано в виде

, (1)

где – сила давления на перепонку, – ее площадь.

При этом изменение количества движения струи при ее попадании на поверхность барабанной перепонки равно импульсу силы, действующей на перепонку:

, (2)

где – масса раствора, попадающего на перепонку за время .

Масса раствора может быть записана как

, (3)

где – объем, занимаемый раствором.

Объединяя (2) и (3), найдем F:

. (4)

Подставляя из (4) в (1), получим выражение для давления струи:

. (5)

Подставляя численные значения величин, входящих в (5), получим:

Па.

№ 2.19

При проведении водной процедуры «душ Шарко» используется струя воды сечением см², которая, попадая на поверхность тела пациента под углом к нормали, отскакивает от нее без потери скорости. Найдите силу, действующую на пациента, если скорость течения воды в струе м/с.

Решение

Из предыдущей задачи следует, что

.

Множитель появляется вследствие того, что давление струи на тело человека определяется составляющей скорости, направленной перпендикулярно телу человека. Подставляя численные значения величин, входящих в приведенное выражение, получим:

Н.

№ 2.20

Скорость течения воды в некотором сечении горизонтальной трубы см/с. Найдите скорость течения в той части трубы, которая имеет вдвое меньший диаметр.

Решение

Запишем уравнение неразрывности струи:

. (1)

В (1) – сечение той части трубы, в которой скорость течения воды составляет , – сечение той части трубы, в которой скорость течения воды составляет . Учитывая, что , а , где и – диаметры трубы, соответствующие сечениям и , (1) можно переписать:

. (2)

Выразим из (2) скорость :

. (3)

Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:

м/с.

№ 2.21

Из выходного патрубка капельницы вытекает инфузионный раствор. Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что высота сосуда с раствором над катетером составляет м. Гидравлическим сопротивлением магистрали пренебречь.

Решение

Гидростатическое давление столба жидкости в сосуде равно динамическому давлению жидкости, вытекающей из отверстия:

,

где – плотность жидкости, – скорость ее вытекания через отверстие. Выражая из этого соотношения скорость и подставляя численные значения, получим:

м/с.

№ 2.22

В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью см/с. Определите скорость течения воды в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой ее частях равна кПа.

Решение

Запишем уравнение Бернулли

, (1)

где и статические давления воды в широкой и узкой частях трубы, и – соответствующие им динамические давления, и – скорости течения воды в широкой и узкой частях трубы, – плотность воды.

Выражая из (1) скорость и подставляя в полученное выражение численные значения, получим величину скорости течения воды в узкой части трубы:

м/с.

№ 2.23

Медицинская сестра давит на поршень шприца диаметром см с силой Н. Определите скорость вытекания струи жидкости из шприца, если он расположен горизонтально. Трением пренебречь. Плотность жидкости кг/м³.

Решение

Считая струю вытекающей из шприца жидкости стационарным потоком, рассмотрим полное давление в двух сечениях: внутри шприца и вне его. В первом сечении скорость жидкости , во втором статическое давление . Поскольку поток жидкости горизонтальный, , а уравнение Бернулли запишется в виде:

, (1)

где – давление жидкости внутри шприца, – скорость вытекания струи из шприца. Давление, создаваемое внутри шприца, равно:

, (2)

где – сечение шприца. Подставляя (2) в (1), можно найти скорость истечения жидкости из шприца:

.

Подставляя численные значения величин, входящих в последнее выражение, получим:

м/с.

№ 2.24

Площадь поперечного сечения медицинского шприца см². Площадь выходного отверстия мм². Шприц расположен горизонтально. На поршень действует постоянная горизонтальная сила Н. Ход поршня см. Найдите время вытекания жидкости из шприца, если ее плотность жидкости кг/м³.

Решение

Полагая жидкость в шприце идеальной, запишем для нее уравнение Бернулли:

, (1)

где – давление, оказываемое на поршень, – скорость движения поршня, – скорость вытекания жидкости.

Из уравнения неразрывности струи выразим :

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

. (3)

Из (3) выразим :

. (4)

Учитывая, что , (4) можно переписать:

. (5)

Поскольку объем жидкости, находившейся в шприце, равен объему вытекшей жидкости, можно записать:

. (6)

Подставляя выражение для из (5) в (6), можно найти время :

. (7)

Подставляя численные значения величин, входящих в (7), получим:

с.

№ 2.25

Из горизонтально расположенного медицинского шприца диаметром см выдавливается физиологический раствор силой H. Найдите скорость вытекания жидкости из иглы шприца. Плотность физиологического раствора г/см³. Сечение поршня значительно больше сечения иглы.

Решение

В соответствии с определением давление , производимое на жидкость, равно силе , действующей на единицу площади поршня шприца :

. (1)

Учитывая, что , (1) можно переписать:

. (2)

В соответствии с законом Паскаля давление в струе вытекающего из шприца физраствора равно давлению раствора внутри шприца и определяется выражением:

, (3)

где – скорость истечения струи, – плотность физраствора. Из (2) и (3) следует, что

. (4)

Из последнего соотношения выразим скорость струи:

. (5)

Подставляя численные значения величин, входящих в (5), получим:

м/с.

№ 2.26

Трубка Пито позволяет по высоте столба жидкости измерять полное давление . Статическое давление в движущейся жидкости измеряется трубкой, нижнее сечение которой параллельно линиям тока. Вычислите скорость течения диализирующего раствора в магистрали аппарата «искусственная почка», если известно, что кПа, кПа. Плотность диализирующего раствора кг/м³.

Решение

Полное давление диализирующего раствора при указанных условиях определяется как сумма статического и динамического давлений:

, (1)

где – скорость течения диализирующего раствора.

Выразим из (1) скорость течения раствора:

. ( 2)

Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

м/с.

№ 2.27

Из выходного патрубка капельницы вытекает инфузионный раствор. Найдите наибольшую скорость струи, если известно, что высота сосуда с раствором над катетером составляет м. Гидравлическим сопротивлением магистрали пренебречь.

Решение

Гидростатическое давление столба жидкости в сосуде равно динамическому давлению жидкости, вытекающей из отверстия:

,

где – плотность жидкости, – скорость ее вытекания через отверстие. Выражая из этого соотношения скорость и подставляя численные значения, получим:

м/с.

№2.28

По горизонтальной трубке переменно го сечения протекает инфузионный раствор. Статическое давление в точке трубки равно Па, а скорость воды см/с. Найдите статическое и динамическое давления в точке , если отношение сечений трубки в точках и равно . Плотность раствора кг/м³.

Решение

Из уравнения неразрывности струи найдем скорость воды в точке :

см/с. (1)

Запишем уравнение Бернулли для данных условий:

. (2)

В уравнении (2) вторые слагаемые левой и правой частей представляют собой динамические давления воды в точках и , а и – соответствующие им статические давления. Найдем динамическое давление в точке :

Па. (3)

Выразим из уравнения (2) статическое давление в точке :

. (4)

Подставляя численные значения величин, входящих в (4), получим:

Па.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Определите разность давлений на концах горизонтальной трубы переменного сечения, если в широкой части трубы вода течет со скоростью 0,4 м/с, а в узкой – со скоростью 1,2 м/с.

2. С какой силой давит медсестра на поршень медицинского шприца диаметром 2 см, если скорость вытекания струи физраствора из шприца составляет 0,2 м/с? Плотность физраствора принять равной 10³ кг/м³.

3. На какой глубине давление на барабанную перепонку ныряльщика будет вдвое больше атмосферного?

4. Идеальная жидкость течет по трубе диаметром 4 см со скоростью 2 м/с. Какую скорость она будет иметь на участке трубы, имеющем сужение диаметром 3 см?

5. Рассчитайте динамическое давление в струе воды, движущейся в трубе со скоростью 2 м/с.