§ 3.2. Оси естественного трехгранника

Рис. 3.4

Пусть задана криволинейная траектории движущейся точки М, рис. 3.4. Если к движущейся точке «привязать» касательную, то вследствие «искривленности» кривой эта касательная с перемещением точки касания будет вращаться. Этим “кривая” отличается от “прямой”, для которой касательная сохраняет одно и то же направление для всех точек.

Пусть точка М за время прошла путь по дуги, равный . Придав приращение , получим другую точку (рис. 3.4). Приращение угла наклона касательной при переходе от к определяет угол – угол между обеими касательными. Угол  будем называть углом смежности.

Определения

Принято кривизну кривой характеризовать углом поворота касательной, рассчитанным на единицу длины дуги.

Кривизной кривой К в точке М называют предел

. (3.3)

Замечание: для прямой – ; для окружности – ; для различных точек на кривой, кривизна К различна.

Радиусом кривизны кривой  в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке,

(3.4)

Рассмотрим физический смысл радиуса кривизны. Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки – окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке.

Вычислим радиус кривизны окружности (рис.3.5).

Рис. 3.5

Дуга окружности длиной S, опирающаяся на центральный угол  связана с радиусом окружности зависимостью S=R.

Имеем

Для прямолинейной траектории угол  =0, тогда

Построение осей естественного трехгранника. Проведем к точке на дуге касательную ось , рис. 3.6. Направим единичный вектор по направлению движения точки по оси , направление которой определит положительное направление оси. Первой естественной осью является касательная Мτ. Проведем плоскость через две пересекающиеся прямые Mτ и М₁τ₁. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки М₁ с точкой М называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М (рис.3.6).

Рис. 3.6

Точка движется в соприкасающейся плоскости.

Перпендикулярно и соприкасающейся плоскости располагается нормальная плоскость кривой. Линия пересечения нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости называется осью главной нормали Мn. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй естественной оси – нормальной.

Прямая, перпендикулярная главной нормали и касательной, называется бинормальной осью Мb. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора образовывали правую систему осей координат, определит направление третьей естественной оси Мb. Плоскость, проходящая через , , называется спрямляющей.

Три взаимно перпендикулярные прямые Мτ, Мn, Мb, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , , , образуют оси естественного трехгранника.