17.Свертка
Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования.
Свёртка функций
Пусть 
—
две функции, интегрируемые относительно меры
Лебега на
пространстве 
.
Тогда их свёрткой называется функция 
,
определенная формулой
В
частности, при 
формула
принимает вид:
Свёртка 
определена
при почти всех 
и
интегрируема.
Свойства
Коммутативность:
.
Ассоциативность:
.
Линейность (дистрибутивность и умножение на число):
.
Правило дифференцирования:
,
где 
обозначает производную функции
по
любой переменной.
Свойство Фурье-образа:
,
где 
обозначает преобразование
Фурье функции
.
Свёртка на группах
Пусть 
— группа
Ли,
оснащённая мерой
Хаара 
,
и 
—
две функции, определённые на
.
Тогда их свёрткой называется функция
.
Свёртка мер
Пусть
есть борелевское пространство 
и
две меры 
.
Тогда их свёрткой называется мера
,
где 
обозначает произведение
мер 
и 
.
Свойства
Пусть
абсолютно
непрерывны относительно
меры Лебега
.
Обозначим их производные
Радона — Никодима:
.
Тогда 
также
абсолютно непрерывна относительно
,
и её производная Радона — Никодима 
имеет
вид
.
Если — вероятностные меры, то также является вероятностной мерой.
Свёртка распределений
Если 
— распределения двух независимых случайных
величин
и
,
то
,
где 
—
распределение суммы
.
В частности, если 
абсолютно
непрерывны и
имеют плотности 
,
то случайная величина
также
абсолютно непрерывна и её плотность
имеет вид:
.
18.Цифровые фильтры
Цифровой фильтр — в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов. Применения
Цифровые фильтры на сегодняшний день применяются практически везде, где требуется обработка сигналов, в частности в спектральном анализе, обработке изображений, обработке видео, обработке речи и звука и многих других приложениях.
[править]Характеристика цифровых фильтров
Линейный стационарный цифровой фильтр характеризуется передаточной функцией. Передаточная функция может описать, как фильтр будет реагировать на входной сигнал. Таким образом, проектирование фильтра состоит из постановки задачи (например, фильтр восьмого порядка, фильтр нижних частот с конкретной частотой среза), а затем производится расчет передаточной функции, которая определяет характеристики фильтра .
Передаточная функция фильтра имеет вид:
где порядок фильтра - большее N или M. В данном случае это формула БИХ-фильтра. Если знаменатель равен единице, то получаем формулу КИХ-фильтра (без обратной связи).