1. Описание метода наименьших квадратов.

Рассмотрим один из методов, позволяющих проанализировать и обработать данные, полученные в результате эксперимента (таблица 2). Пусть в результате измерений получена таблица зависимости одной величины y от другой x.

Таблица 2

x	x1	x2	x3	x4	…	xn
F(x)	y1	y2	y3	y4	…	yn

Необходимо найти формулу y=f(x), выражающую таблично заданную зависимость аналитически. Применение интерполяции в данном случае нецелесообразно, т.к. значения y_i в узлах получены экспериментально и поэтому являются сомнительными (в ходе эксперимента возникает неустранимая погрешность, обусловленная неточностью измерений). Кроме того, совпадение значений в узлах не означает совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Поэтому необходимо найти такой метод подбора эмпирической формулы, который не только позволяет найти саму формулу, но и оценить погрешность подгонки.

Постановка задачи. Найдем функцию заданного вида

Y=f(x) (1)

которая в точках x₁,x₂,x₃,x₄..x_n принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y₁,y₂,y₃,y₄..y_n.

Практически вид приближающей функции можно определить визуально: по таблице 2 строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис.2).

Рис.2

По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая, гипербола, дробнорациональная и т.д.).

Заметим, что формула (1), называемая эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x, позволяет находить значения функции f(x) для нетабличных значений x, «сглаживая» результаты измерений величины y.

Из рисунка 2 видно, что для каждого значения x_i экспериментальное y_i и

расчетное Y^р_i значения различаются на некоторую величину ∆y_i, называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции f(x): если выполняется условие

m = minσ = min((∆y_i)²) (3)

где ∆y_i=y_i-y^р=y_i-f(x_i), то считается, что функция f(x) подобрана наилучшим образом.

Рассмотрим более подробно случай аппроксимации полиномом второй степени

ỹ = А₀ + A₁x + A₂x² .                                             (4)

Составим разность S_m

Вычисляя производные и приравнивая их к нулю

получим систему уравнений

Преобразуем её к нормальному виду:

(5)

Найденная система уравнений (5) служит для нахождения коэффициентов А₀, А₁, А₂ многочлена(4).

Решение этой системы определяет линию (параболу), которая представляет найденную экспериментальную функцию.

Если рассмотреть нечетное количество точек, то независимо от положения точки на кривой можно рассмотреть её как начало отсчёта, тогда значения в таблице 2 будут выглядеть так:

Таблица 3

x	x-n	...	x-1	0	x1	…	xn
F(x)	y-n	…	y-1	y0	y1	…	yn

Тогда после математических преобразований система придет с следующему виду:

откуда видно, что коэффициент A₁ легко может рассчитать, зная суммы квадратов x_i и произведений x_iy_i. А так как центральная точка находится в «нуле» системы координат, её производная равна A₁. Таким образом нахождение производной в исследуемой точке сводится к нахождению данного коэффициента.