Приклад 1.

x	1	3		4	2
y	4	8		2	5

у = kx+b

Складемо розрахункову таблицю:

	xi	yi	xi2	xi× yi
	1	4	1	4
	3	8	9	24
	5	3	25	15
	4	2	16	8
	2	5	4	10
	15	22	55	61

; ;

4.2 Побудова квадратичної залежності між двома змінними величинами

Для знаходження k,b,c. Отримаємо систему рівнянь.

(6.8)

Приклад 2.

За прикладом 1 скласти квадратичну залежність

	xi	yi	xi2	xi× yi	xi3	xi4	xi2×yi
	1	4	1	4	1	1	4
	3	8	9	24	27	81	72
	5	3	25	15	125	625	75
	4	2	16	8	64	256	32
	2	5	4	10	8	16	20
	15	22	55	61	225	979	203

979k+225b+55c=203

55b+15c=61

55k+15b+5c=22

; ; ;

;

Умовний екстремум функцій багатьох змінних. Умовним екстремумом функції u = f(x_1, х₂, ….х_n) називається екстремумом цієї функції, який досягається за умови, що змінні x_1, х₂, ….х_n зв»язані з рівняннями зв»язку

Тобто задача ставиться так: знайти екстремум функції

u = f(x_1, х₂, ….х_n) (6.9)

за умови, що

(6.10)

Для розв»язання такої задачі використовується метод множників Лагранжа, згідно з яким задача знаходження умовного екстремуму зводиться до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа

(6.11)

Де називаються множниками Лагранжа.

Необхідні умови умовного екстремуму виражаються системою n + m рівнянь

(6.12)

Розв»язки цієї системи - стаціонарні точки функції Лагранжа.

Достатні умови умовного екстремуму можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа з урахуванням рівнянь зв»язку.

Зокрема, для випадку відшукання екстремуму функції двох змінних

z = f(x, y) (6.13)

за умови , що

(6.14)

функція Лагранжа має вигляд

(6.15)

а відповідна система рівнянь для знаходження стаціонарної точки така

З цієї системи знаходяться невідомі де - координати точки, в якій можливий умовний екстремум.

Достатні умови умовного екстремуму такі:

-точка умовного мінімуму;

-точка умовного максимуму

при дослідженні знаку слід мати на увазі, що диференціали змінних dx, dy в залежні і ця залежність диктується рівняннями зв»язку.

Крім того, оскільки не є звичайною змінною, то при визначенні знака величина не враховується, тобто вважається

З находження найбільшого та найменшого значень функції в замкненій області. Якщо функція u = f(x) диференційована в замкненій області , то вона досягає свого найбільшого (найменшого) значення або в стаціонарній точці, або в гармонічній точці області.

Тому, для того щоб знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області, треба:

1. знайти стаціонарні точки, що розташовані в заданій області, і обчислити значення функції в цих точках;

2. знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що утворюють межу області;

3. з усіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше.

Дослідити на екстремум функцію

Знаходимо частинні похідні функції z першого порядку.

Прирівнюючи нулю ці похідні ,отримуємо систему для визначення стаціонарних точок:

Маємо дві стаціонарні точки

Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку

Тоді для точки маємо:

точка не є точкою екстремуму.

Для точки маємо:

отже точка -точка локального мінімуму.

Знайдемо значення функції z у цій точці

Зауважимо ,що для встановлення типу стаціонарної точки можна також безпосередньо досліджувати знак другого диференціалу як квадратичної форми змінних

dx i dy, використовуючи метод виділення повного квадрату.

Звідки видно ,що для будь яких dx i dy не рівних одночасно нулю, ,отже ,точка - точка мінімуму.

Приклад . Знайти найбільше та найменше значення функції в трикутнику, обмеженому лініями x=0, y=0, x+y=6

Розв`язання. Спочатку знайдемо критичні точки всередині області:

Згідно з необхідними умовами існування екстремуму функції маємо систему рівнянь

Всередині області та тому

В критичній точці маємо

Тепер проводимо дослідження функції на межі трикутника.

На прямій x+y=6 змінна y=6-x і функція Z приймає вигляд

Знайдемо найбільше та найменше значення цієї функції однієї змінної x на замкненому відрізку [0,6]:

Із рівності знаходимо : 6x(x-4)=0 ,звідси випливає ,що .

Z(4)=-64;при x=0 та x=6 Z(0)=0;Z(6)=0.

На прямій y=0 маємо Z=0.

Отже ,задана функція Z має найбільше значення в точці всередині області ,найменше значення – в точці на межі області.

Найбільше значення

Найменше значення

Питання для перевірки:

1.Якими міркуваннями треба керуватися для знаходження областей визначення та неперервності функції кількох змінних?

2. як позначають та знаходять частинні похідні першого та вищого порядків, повний диференціал, повний приріст функції?

3. Що характеризують і за якими формулами знаходять похідну за напрямом та градієнт функції трьох та двох змінних?

4. Як визначають екстремуми функції кількох змінних, умовний екстремум?

5. Як формулюють та використовують необхідні умови існування екстремуму функції кількох змінних?

6. Який мають вигляд і як формулюються достатні умови існування екстремуму функції кількох змінних?

7. Який порядок дій при знаходженні умовного екстремуму з використанням функції Лагранжа?

8. Коли застосовують метод найменших кавдратів?

Завдання для самостійного виконання:

Знайти точки екстремуму функції двох змінних:

z = x³ + 3xy – 15x – 12y.

Знайти точки екстремуму функції трьох змінних:

1. u = x² + y² + +z – 4x + 6y – 2z.

2. u = xy²z³(1 – x – 2y -3z) (x>0, y>0, z>0).

Знайти точки умовного екстремуму функцій:

1. z = x^m + y^m (m>1) при x + y = 2 (x >0, y>0).

2. z = x² + y² – xy + x + y – 4 при x + y + 3 = 0.

3. x = xy² при x + 2y = 1.

4. u = 2x + y – 2z при x² + y² + z² = 36/

Завдання для контрольного виконання: