Алгебраические критерии устойчивости

• Критерий Шур-Кона

Дискретная САУ будет устойчива, если определитель , составленный из коэффициентов характеристического уравнения, будет больше нуля при четных k и меньше нуля при нечетных, где k изменяется от 1 до n, ( n – порядок системы).

(5.7)

• Критерий Шур-Кона упрощенный (только для систем второго порядка)

Дискретная САУ будет устойчива, если характеристическое уравнение имеет приведенный вид ( ), и одновременно выполняются три условия:

1.

2.

3.

• Критерий внутренней положительности

Дискретная САУ будет устойчива, если одновременно выполняются следующие условия:

1.

2. , где n - порядок уравнения.

3.Матрицы М и М должны быть внутренне положительны,

где М = X +Y

М = X -Y ,

X =

Y =

Заполнение матрицы X начинается с верхнего элемента , а матрицы Y – с нижнего элемента .

Размерность данных матриц – (n-1)x(n-1).

• Определение устойчивости дискретной системы с помощью билинейного преобразования

Дискретная САУ будет устойчива если все корни , полученные в результате подстановки в характеристическое уравнение дискретной системы D(z), будут лежать в левой полуплоскости т.е. <0.

Частотные критерии устойчивости для дискретных систем

• Критерий Михайлова

Дискретная САУ будет устойчива, если, после замены z на , при возрастании от 0 до /T₀ годограф Михайлова повернется против часовой стрелки на угол .

• Критерий Найквиста

Замкнутая дискретная автоматическая система управления устойчива, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов годографа Найквиста для разомкнутого контура при возрастании от 0 до / T₀ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна m/2, где m — число корней характеристического уравнения разомкнутого контура, лежащих вне единичной окружности.

Условие оптимальности по быстродействию для импульсных систем

Импульсные системы обладают специфической особенностью: переходные процессы в них могут заканчиваться за конечное число периодов дискретности, равное порядку системы п. Условием получения конечной длительности переходного процесса является равенство всех (кроме первого) коэффициентов характеристического уравнения нулю.

При этом характеристический полином системы имеет вид

(5.8)

а изображение выходной величины оказывается конечным рядом отрицательных степеней z:

(5.9)

что соответствует переходному процессу с конечной длительностью t_nп = пТ₀.

При любом другом соотношении коэффициентов длительность переходного процесса больше пТ₀. Поэтому процесс с конечной длительностью будет оптимальным по быстродействию.

Метод переменного коэффициента усиления

– задающее воздействие;

– управляемая величина;

– управляющая последовательность цифрового регулятора;

– ошибка управления;

- период дискретности;

– ПФ непрерывной части системы (исходного объекта управления);

Ф – фиксатор;

– искомая ДПФ цифрового регулятора системы.

Цель синтеза сводится к определению передаточной функции:

(5.10)

Критерием метода переменного коэффициента усиления является быстродействие. Данный метод обеспечивает переходный процесс длительностью (где n- порядок объекта) без перерегулирования (%=0).

Начальным условием для синтеза является описание объекта либо передаточной функцией, либо структурной схемой. Далее строится схема переменных состояний цифровой системы управления любым методом.

По схеме переменных состояний определяются матрица коэффициентов А_R и матрица выхода C_R. Затем выбирается Т₀ и определяется расширенная матрица перехода Ф_R(Т₀).

Для получения матрицы А_R можно в качестве одной из переменных выбрать либо величину сигнала ошибки e, либо (как в рассматриваемом случае) величину управляющего сигнала m:

- обобщенный вектор состояния

или в векторном виде: (5.11)

Матрица C_R определяется уравнением Y = C_R V(t)

Выбор интервала дискретности.

Для синтеза цифровой системы управления используют прикладное правило выбора Т₀:

, где - минимальная постоянная времени объекта.

Получение матрицы перехода.

После выбора Т₀ можно определить Ф_R (Т₀).

Если в качестве переменной выбран сигнал m, то матрица А_R является числовой и при расчёте расширенной матрицы перехода Ф_R (Т₀) удобно воспользоваться методом разложения в ряд , который реализован в пакете Matlab (команда expm(M), где M – имя матрицы).

В полученной матрице Ф_R (Т₀) выделяем матрицы Р и F.

(5.12)

где Р – столбец из n-строк - определяет реакцию объекта на управляющую последовательность;

F - матрица размером n*n – матрица перехода непосредственно объекта.

Получение формулы для расчёта величин управляющих воздействий.

Здесь эта процедура приводится для объяснения происхождения формулы, можно сразу воспользоваться конечной формулой.

Поведение системы между замыканием ключей можно описать:

где (5.13)

(5.14)

Рассмотрим поведение системы от момента времени t=0 до момента t=nT₀.

(5.15)

Между замыканием ключей:

(5.16)

В момент замыкания ключей:

(5.17)

Далее повторяем шаги:

(5.18)

В момент nT₀:

Формула для расчёта величин управляющих воздействий.

(5.19)

Из этого уравнения можно получить значения управляющих сигналов, задавшись вектором желаемых значений переменных .

Определение :

- по схеме, учитывая, что на момент окончания переходного процесса выход системы должен быть равен её входу, а входы интеграторов должны быть равными нулю. Это условие можно описать следующими векторными уравнениями:

(5.20)

Определение величин управляющих воздействий:

Управляющие воздействия находятся из уравнения

(5.21)

(Можно воспользоваться возможностями Matlab: для решения системы линейных уравнений, вида применяется команда )

Остальные величины управляющих воздействий – из условия:

(5.22)

Определение величин ошибок:

С учётом схемы, из уравнений, вида:

(5.23)

для нашего примера: ( )

где р₁ – первый элемент вектора Р;

F₁ – первая строка матрицы F.

(5.24)

Определение дискретной передаточной функции регулятора.

После нахождения последовательностей управляющих сигналов и ошибок, можем записать дискретную передаточную функция регулятора:

(5.25)

С учётом уравнений (5.21) и (5.24) получаем:

(5.26)

где , ,

, , .

Порядок выполнения работы

1. Промоделировать переходный процесс для исходной замкнутой системы, определить показатели качества системы.

2. Рассчитать передаточную функцию регулятора, оптимального по быстродействию, методом переменного коэффициента усиления:

   1. Построить схему переменных состояния (методом последовательного программирования для четного варианта, методом прямого программирования для нечетного варианта) для системы с регулятором (в виде переменного коэффициента усиления).

   2. По схеме переменных состояний определить матрицу коэффициентов А_R и матрицу выхода C_R.

   3. Рассчитать интервал дискретности Т₀.

   4. Рассчитать матрицу перехода Ф_R(Т₀).

   5. Задаться вектором желаемых значений переменных .

   6. Рассчитать значения управляющих сигналов.

   7. Рассчитать величины ошибок для моментов квантования.

   8. Записать дискретную передаточную функция регулятора.

3. Промоделировать на компьютере систему с регулятором, снять показатели качества.

4. Посчитать приведенную дискретную передаточную функцию (ДПФ) исходной разомкнутой системы (с учётом фиксатора).

5. Посчитать приведенную ДПФ разомкнутой системы с добавленным регулятором.

6. Посчитать приведенную ДПФ замкнутой системы с учетом регулятора.

7. Доказать устойчивость полученной замкнутой дискретной системы, используя следующие алгебраические критерии или методы:

критерий Шур-Кона

критерий внутренней положительности

с помощью билинейного преобразования

анализом значений корней характеристического уравнения

8. Доказать устойчивость дискретной системы следующими частотными критериями:

критерий Михайлова

критерий Найквиста

Содержание отчета

1. На титульном листе кроме основных сведений также указывается номер варианта и номер(а) компьютера(ов), на котором(ых) проводилось моделирование.

2. Цель работы.

3. Индивидуальное задание: структурная схема, численные значения параметров.

4. Протокол выполнения работы, включая графики всех полученных характеристик и все расчеты и преобразования для схем.

Под каждым графиком должен быть указан путь до соответствующей схемы моделирования, начиная от номера компьютера.

5. Выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Пояснить квантование по времени, по уровню, виды модуляции.

2. Передаточная функция фиксатора.

3. Получение разностного уравнения по дискретной передаточной функции W(z).

4. Способы обратного z-преобразования.

5. Алгебраические критерии устойчивости для дискретных систем.

6. Частотные критерии устойчивости для дискретных систем.

7. Какой вид должно иметь характеристическое уравнение импульсной системы, чтобы длительность переходного процесса была конечной?