Вопрос 2. Аналоговое моделирование физических полей. Коэффициенты аналогии, индикаторы аналогии.

3.2.2. Особенности построения моделей

Введем понятия сходственных величин, коэффициентов аналогии, индикаторов аналогии, используемые при доказательстве аналогии объектов.

Каждое из уравнений, приведенных в табл. 3.1, включает в себя четыре величины, занимающие в этих уравнениях одинаковые позиции. Это потенциальная функция (T, U, U_r, U_м, φ…), характеристика среды (λ, ε, ρ, μ, σ...), мощность распределенных источников поля (w, q, q_r, i...) и, наконец, геометрический масштаб модели (L, l). Величины, занимающие в уравнениях одинаковые позиции, называются сходственными величинами, а для характеристики их отношений вводятся коэффициенты аналогии:

С помощью коэффициентов аналогии можно выразить и заменить величины изучаемого (например, температурного) поля величинами модельного (электрического) поля:

Тогда уравнение для стационарного температурного поля (см. табл. 3.1) можно записать в виде

Важно подчеркнуть, что уравнение по-прежнему остается уравнением теплопроводности, ведь изменилась только форма записи тепловых величин (Т, К, ω, L). Вместе с тем уравнение теплопроводности в приведенной форме полностью совпадает с уравнением электрического поля при условии, что

Данное соотношение выражает условие аналогии натур­ного и модельного (в рассматриваемом примере температурного и электрического) полей и носит название индикатора аналогии. При практических расчетах неудобно пользоваться вели­чиной точечной мощности распределенных источников поля

ω(ξ^r ,Т), i(ξ^r ,φ). Целесообразно заменить эту величину некоторой сосредоточенной величиной (W, I) характеризующей мощность источников (тепло- и токовыделение) в некотором элементар­ном объеме (V_, v):

Индикатор аналогии может быть представлен в виде

Отношение величин W и I характеризуется коэффициентами аналогии M_I и M_i:

Соотношения (3.18) и (3.22), в частности, показывают, что три коэффициента аналогии из четырех могут быть выбраны произвольно, а четвертый должен быть определен из этих соотношений. В рассмотренном случае имеется один индикатор ана­логии. Вообще же количество индикаторов аналогии на единицу меньше числа членов изучаемого уравнения в силу известной π-теоремы Кирпичева.

Для однородного эллиптического уравнения коэффициенты аналогии (3.13) могут быть просто сокращены. Это значит, что для полей без распределенных источников аналогия соблю­дается автоматически, а коэффициенты аналогии не связаны между собой.

Билет №9

1. Классификация методов оптимизации. Общая характеристика регулярных и прямых методов.

Фото 2 + рег: принципиальная возм-ть точного опр-я оптим точки факторного пространства, но мб юз только при иссл-ии ММ. Возм-ть провед-я аналит-го иссл-я делает рег методы оч эфф. Прям: не предполагают провед-я ан иссл. М только опр-ть вел-ну критерия оптимальности при заданной комбинации варьируемых переменных. Поэтому требов-я к ММ мин-ны и объединяет мат и эксперементальн методы поиска оптимума. принципиальная невозм-ть точного опр-я оптим точки факторного пространства (с 237-238 б)

2. Аналогии компонентных и топологических уравнений для электрической, механической, гидравлической и тепловой систем.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), другими словами, это уравнения математических моделей элементов.

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы.

Одинаковая форма записи математических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений.

Такие аналогии существуют для механических, электрических, гидравлических (пневматических), тепловых объектов и др.

Наличие аналогий приводит к практически важному выводу: значительная часть алгоритмов формирования и исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть применена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях.

Компонентные уравнения имеют вид

FК (dV / dt, V, t) = 0,

а топологические

FТ (V) = 0,

где V = (v1, v2, ... vn) – вектор фазовых переменных, t – время.

К фазовым переменным можно отнести токи и напряжения в электрических системах, силу и скорость – в механических, давление и расход – в гидравлических, тепловой поток (мощность) и температуру – в тепловых.

Различают фазовые переменные двух типов, фазовые переменные типа потенциала (например, электрическое напряжение) и типа потока (например, электрический ток).

Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к одному компоненту (например, закон Ома описывает связь между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение – связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.

Модели можно представлять в виде систем уравнений или в виде эквивалентных схем.

Компонентные уравнения простых двухполюсников:

для R: u = i R (закон Ома),

для C: i = C du/dt,

для L: u = L di/dt,

где u – напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике), i – ток.

Топологические уравнения выражают законы Кирхгофа для напряжений (ЗНК) и токов (ЗТК). Согласно ЗНК, сумма напряжений на компонентах вдоль любого замкнутого контура в эквивалентной схеме равна нулю, а в соответствии с ЗТК сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы равна нулю.

Билет №10

1. Регулярные методы оптимизации: ограничения классических методов вариационного исчисления, принцип максимума Понтрягина, постановка задач оптимального управления.

Реш-е зад-и опт-ии с пом диф исчисл-я или рекуррентных соотн-ий и опираются на точную формулировку необх-х и достаточных усл-ий экстремума. принципиальная возм-ть точного опр-я оптим точки факторного пространства, но мб юз только при иссл-ии ММ. Возм-ть провед-я аналит-го иссл-я делает рег методы оч эфф.

Юз для ф-ий, кот им бескон производные и точки разрыва для управляемых об-ов (кот им руль – фактор, кот лет влиять на движ-е об-а). Ис бескон мн-во числа спос-ов управлять об-ом так, чтобы он достиг поставленного рез-та. Поэтому надо найти оптим способ управл-я – задача оптим-го управл-я.

Понтрягин: отл-е: в кач-ве незав переменной юз время, что четко опр-т ориентацию метода на реш-е динамических задач; для обознач-я фазовых коорд-т вводят переменные x(t), а вместо производных фазовых координат – управления u. (с 247 б)

2. Представление изделия при моделировании надёжности как элемента и как системы. Показатели надёжности. Единичные показатели безотказности.

ПН – кол-ная хар-ка 1 или неск-х св-в, составл-х надежность об-а. ПН кол-но хар-т в какой степ-и об-у присущи опр-ные св-ва, обуславливающие его надежность. ПН м им р-рность (наработка на отказ), м не им (в-ть безотказн А). Кол-но опр-ть надежность сложно, тк поломка – слк\учайное событие. Поэтому ПН - вероятностная хар-ка.

При расчетах ПН об-т мб рассм-н как эл-т или как сист-а. Эл-т – люб ус-во, сооруж-е, кар, аппарат, надежность кот-х изучают незав-мо от надежности составл-х его частей, те эл-т считают неделимым. Сист-а – об-т, у кот известны пок-ли надежности его составных частей и установлено вл-е отказа каждого эл-та на отказ сист-ы.

ЕПН – ПН, кот хар-т 1 из св-в , составляющих надежность об-а (безотказность, ремонтопригодность, долговечность, сохраняемость). + см Фото 4 (с 12 с)

Билет 11 вопрос 1. Прямые методы оптимизации. Интервал неопределённости, сущность принципа минимакса и выбор оптимальной стратегии поиска.

О бщая характеристика методов и принцип минимакса

Область Х** в которой лежит экстремум X*, называется штервалом неопределенности. До проведения исследования интервал неопределенности совпадает с областью определения экстремума Х**=Х*. Лучшей будет та стратегия поиска, которая обеспечивает наибольшее сокращение интервала неопределенности (Х**1Х* —> min) при фиксированных затратах на поиск или наименьшие затраты на поиск при заданном сокращении интервала неопределенности (наименьшее число исследованных точек факторного пространства).

В зависимости от характера стратегии методы поиска принято делить на пассивные и последовательные. К пассивным относятся методы, при которых все точки факторного пространства для определения величины критерия задаются заранее до начала поиска.

Последовательные методы, наоборот, предусматривают выбор следующей точки факторного пространства на основе анализа результатов в уже исследованных точках. Последовательные методы приводят к более сложным алгоритмам, но обеспечивают более высокую эффективность поиска.

В зависимости от числа варьируемых переменных k методы поиска делят на одномерные (k= 1) и многомерные (к ≥ 2).

Подавляющее большинство задач оптимального проектирования многомерно. Тем не менее методы одномерной оптими­зации представляют значительный интерес: во-первых, в неко­торых случаях при известной осторожности все-таки удается свести рассматриваемые задачи к одномерным; во-вторых, ме­тоды одномерной оптимизации являются составной частью большинства многомерных методов, и в-третьих, анализ одно­мерных методов позволяет наглядно продемонстрировать ос­новные идеи поиска вообще.

Для исследования одномерных унимодальных моделей широко используются стратегии, основанные на принципе минимакса, идея которого может быть пояснена на примере опти­мального выбора двух опорных точек для определения значения функции отклика (двух экспериментов) на интервале неопреде­ленности.

Исследование функции отклика в единственной точке исходного интервала неопределенности L₀ хотя и позволяет судить об общем уровне функции отклика, но не дает оснований для сокращения длины интервала, поскольку не позволяет судить о характере этой функции (рис. 6.13, а). Поэтому L₁=L₀. Для сокращения интервала неопределенности необходимо исследо­вать, по крайней мере, две точки факторного пространства. Пусть для определенности эти точки заданы соотношениями

В результате исследования будут получены два значения функции отклика;

которые при условии, что функция унимодальная, позволяют указать новый интервал неопределенности L₂ < L₀, содержащий оптимум (минимум).

При исследовании может быть получен один из трех ре­зультатов:

Если W₁ < W₂ (рис. 6.13, б), минимум функции не может лежать правее х₂ и интервал неопределенности будет равен

Достаточно искусственный случай W₁ = W₂ (рис. 6.13, г) приводит к заведомо меньшему интервалу неопределенности и интереса не представляет.

Легко видеть, что в различных ситуациях величина L₂ оказывается различной, а точное значение L₂ определяется только после эксперимента. Однако для выбора оптимальной стратегии поиска необходимо иметь такой критерий эффективности, кото­рый позволял бы судить о конечном интервале неопределенно­сти до проведения исследования и не зависел бы от удачи иссле­дователя.

Из рис. 6.13, б, в видно, что интервал L₂ включает в себя отрезки, лежащие по обе стороны от точки, давшей лучшее значение отклика W_min, и ограничен второй (худшей) исследованной точкой и границей интервала L₀. Аналогично при исследо­вании п точек интервал L_n ограничен двумя точками, соседними с точкой x_i где получено лучшее значение отклика (одна из этих точек может быть границей интервала L₀):

До проведения исследования неизвестно, в какой именно точке будет достигнуто лучшее значение W, поэтому необходимо рассмотреть все возможные интервалы:

При этом величина всех возможных интервалов .L₂, L_n оп­ределяется выбором точек x₁,x₂,…x_n. При предварительных оценках естественно ориентироваться на худший случай и предполагать, что значения L₂, L_n окажутся следующими:

Реальные результаты, полученные при исследовании, мо­гут оказаться только лучше (но не хуже!) этой оценки. Целесообразно так расположить точки х₁ х₂,...., х_n на интервале, чтобы эта, вообще говоря, довольно пессимистическая оценка (6.77) все-таки была наилучшей:

????????????????????????????????????????????????????????????? стр. 273