§ III.2.2. Принцип суперпозиции электрических полей

1°. Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданным распределению в пространстве и величине источников поля – электрических зарядов – найти величину и направление вектора напряженности Е в каждой точке поля.

2°. Если поле создается системой неподвижных зарядов q1, q2, q3, ..., qn, то результирующая сила F, с которой электрическое поле действует на пробный заряд q0 (III.2.1.2°) в любой точке рассматриваемого поля, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к заряду q₀ со стороны каждого из зарядов q_i: .

Согласно III.2.1.3° F = q₀E и F_i = q₀E_i, где Е – напряженность результирующего поля, E_i – напряженность поля, создаваемого зарядом q_i. Из предыдущих формул следует принцип независимости действия электрических полей или принцип суперпозиции полей: .

Напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Напряженность результирующего поля находится наложением (суперпозицией) напряженностей полей отдельных зарядов. Для непрерывно распределенных в пространстве зарядов (п. 3°) принцип суперпозиции полей имеет вид: , где интегрирование производится по всем непрерывно распределенным источникам полей, создающим электрические поля с напряженностью dE.

Пример. Система неподвижных точечных зарядов q1, q2, ..., qn создает электростатическое поле, напряженность E которого равна

(в СИ),где r_i – радиус-вектор, проведенный от точечного заряда qi в исследуемую точку поля. Любое заряженное тело с дискретно распределенным на нем зарядом Q (п. 3°) можно разбить на весьма малые части, каждая из которых имеет точечный заряд. Поэтому предыдущая формула имеет общее значение для расчета электростатических полей в однородной, изотропной среде, заполняющей все поле.

3. Эл-е. поле диполя.

1. Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных электрических зарядов q>0 и - q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием r от этой системы до рассматриваемых точек ее поля.

Оказалось, что такая модель очень неплохо описывает электрические свойства атомов и молекул, а также влияние на них внешнего электрического поля. Поэтому в физике широко пользуются представлением атомов и молекул в виде электрических диполей.

Р ис. 13.5

Плечом диполя называется вектор I, направленный по оси диполя от отрица­тельного заряда к положительному и по модулю равный расстоянию между ними (рис. 13.5). Произведение положительного заряда q диполя на плечо I называется электрическим моментом диполя p_e (дипольным электрическим моментом): p_e = qI. (13.28)

Вектор р_е совпадает по направлению с плечом диполя.

2. В соответствии с принципом суперпозиции полей напряженность в произвольной точке поля диполя Е = Е₊ + Е_-, где Е₊ и Е- -напряженности полей зарядов q и –q в рассматриваемой точке. Если точка А расположена на оси диполя (рис. 13.5), то векторы Е₊ и Е_-, направлены также вдоль этой оси, но только во взаимно противоположные стороны. По формуле (13.9)

, где r₁ и r₂ — радиусы-векторы, проведенные в точку А из точечных зарядов q и -q, причем r₁=r-l/2 r₂=r+l/2. Векторы r₁ и r₂ совпадают по направлению с вектором I, поэтому:

Потенциал поля в точке А равен сумме потенциалов полей точечных зарядов q и –q:

Так как для поля диполя l²<<r₂ и qI=р_е, то напряженность и потенциал поля в точке А на оси диполя равны: (13.29)

3. Рассмотрим теперь точку В поля, которая находится на перпендикуляре, восстанов­ленном к оси диполя из его середины О (рис. 13.6). В этой точке

Из рис. 13.6 видно, что

причем вектор Е = Е₊ + Е_- параллелен электрическому моменту р_е диполя и направлен в противоположную сторону. Следовательно,- напряженность поля диполя в точке B(r²>>l²) (13.30)

Точка В равноудалена от зарядов q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю:

(13.30')

4. Расчет поля диполя в произвольной точке С с полярными координатами r и α (рис. 13.7) удобнее всего произвести с помощью следующего вспомогательного приема. Опустим на прямую NC, соединяющую заряд -q диполя с точкой С, перпендикуляр МК, проведенный из точки М, где находится заряд q диполя. Поместим в точку К два точечных заряда q и -q, которые полностью нейтрализуют друг друга и не искажают поля диполя. Четыре заряда, находящиеся в точках М, N и К, можно рассматривать как два диполя (NK и МК). Ввиду малости расстояния / по сравнению с r угол CNM= α. Поэтому модули электрических моментов первого и второго диполей соответственно равны (13.31)

Для первого диполя точка С лежит на его оси, а для второго — на перпендикуляре восстановленном в средней точке оси. По формулам (13.29) и (13.30), напряженности E₁ и Е₂ полей каждого из диполей в точке С равны

(13.32)

Векторы р_е1 и р_е2 соответственно E₁и Е₂, взаимно перпендикулярны, поэтому модуль напряженности поля диполя MN в точке С Подставив сюда значения р_е1 и р_е2 из (13.31), получим

(13.33)

Потенциал поля диполя в точке С равен сумме потенциалов в этой точке для полей двух диполей (NK и МК): φ=φ₁+φ₂ где φ₁ и φ₂ находятся по формулам (13.29) и (13.30`). Таким образом,

(13.34)

5. Из предыдущего видно, что расчет потенциала поля диполя (13.34) производится с помощью принципа суперпозиции полей значительно проще, чем расчет напряжен­ности того же поля (13.33). Это связано с тем, что потенциалы складываются алгебра­ически, а напряженности - геометрически. Однако, зная выражение (13.34) для потен­циала φ, можно найти напряженность поля диполя, пользуясь взаимосвязью между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Из (13.27) следует, что проекции Е_г и Е_а вектора Е напряженности поля диполя на полярный радиус-вектор r и на вектор, проведенный в рассматриваемой точке поля перпендикулярно г в сторону возрастания полярного угла α, равны

(13.35) Отсюда следует, что для справедлива формула (13.33).

4. Поток напряженности эл. поля. Т. Гаусса для эл. поля в вакууме.

Выделим в однородном электрическом поле плоскую поверхность (рис. 2.1.). Эта поверхность — вектор, численно равный площади поверхности S и направленный перпендикулярно поверхности

(2.1)

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Но единичный нормальный вектор может быть направлен как в одну, так и в другую сторону от поверхности (рис. 2.2.). Произвольно выберем положительное направление нормали так, как это показано на рис. 2.1. По определению потоком вектора напряжённости электрического поля через выделенную поверхность называется скалярное произведение этих двух векторов: (2.2).

Если поле в общем случае неоднородно, а поверхность S, через которую следует вычислить поток, не плоская, то эту поверхность делят на элементарные участки , в пределах которых напряжённость можно считать неизменённой, а сами участки — плоскими (рис. 2.3.) Поток вектора напряжённости через такой элементарный участок вычисляется по определению потока (2.3)

Здесь En = E ∙ cos — проекция вектора напряжённости на направление нормали . Полный поток через всю поверхность S найдём, проинтегрировав (2.3) по всей поверхности Рис. 2.3.

(2.4)

Теперь представим себе замкнутую поверхность в электрическом поле. Для отыскания потока вектора напряжённости через подобную поверхность проделаем следующие операции (рис. 2.4.):

1. Разделим поверхность на участки . Важно отметить при этом, что в случае замкнутой поверхности положительной считается только «внешняя» нормаль .

2. Вычислим поток на каждом элементарном участке :

Обратите внимание на то, что вектор «вытекающий» из замкнутой поверхности создаёт положительный поток, а «втекающий» — отрицательный.

3. Для вычисления полного потока вектора напряжённости через всю замкнутую поверхность, все эти потоки нужно алгебраически сложить, то есть уравнение (2.3) проинтегрировать по замкнутой поверхности S

(2.5)

Кружок на знаке интеграл означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности.

Напомним, что при графическом изображении полей, густота силовых линий в произвольной точке поля числено равна значению напряжённости поля в этой точке. Это означает, что .

Тогда число силовых линий, пронизывающих поверхность dS, можно записать так: Рис. 2.4.

dN = En ∙ dS = E ∙ dS ∙ cos

Но ведь это определение потока вектора напряжённости через поверхность dS.

Таким образом, поток вектора напряжённости через поверхность dS численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность (!).

Этот вывод справедлив и для потока электрического поля через замкнутую поверхность: этот поток будет равен алгебраической сумме силовых линий втекающих (–) и вытекающих (+) из замкнутой поверхности.

4°. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраический сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью:

5°. Наряду с принципом суперпозиции полей (III.2.2.1°) теорема Остроградского-Гаусса применяется для вычисления векторов D различных электрических полей. При этом необходимо так выбрать замкнутую поверхность, чтобы в выражении потока смещения можно было вынести D за знак поверхностного интеграла. Для полей, созданных простейшими симметрично расположенными зарядами (заряженные линия, плоскость, сфера и т. д.), это можно сделать.

5. Применение Т. Гаусса. электростат. Поле бескон. зар-ной нити.

Рассмотрим бесконечную нить, несущую заряд, равномерно распределённый по её длине. Заряд, сосредоточенный на бесконечно нити, конечно, тоже бесконечен, и поэтому он не может служить количественной характеристикой степени заряженности нити. В качестве такой характеристики принимается «линейная плотность заряда». Эта величина равна заряду, распределённому на отрезке нити единичной длины: .

Выясним, какова напряженность поля, создаваемого заряженной нитью на расстоянии а от неё (рис. 1.12).

Рис. 1.12.

Для вычисления напряжённости вновь воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и законом Кулона. Выберем на нити элементарный участок dl. На этом участке сосредоточен заряд dq = dl, который можно считать точечным. В точке А такой заряд создаёт поле (см. 1.3)

Исходя из симметрии задачи, можно заключить, что искомый вектор напряжённости поля будет направлен по линии, перпендикулярной нити, то есть вдоль оси х. Поэтому сложение векторов напряжённости, можно заменить сложением их проекцией на это направление.

(1.7)

Рис. (1.12 b) позволяет сделать следующие заключения: (1.8)

Таким образом .(1.9)

Используя (1.8) и (1.9) в уравнении (1.7), получим (1.10)

Теперь для решения задачи осталось проинтегрировать (1.10) по всей длине нити. Это означает, что угол  будет меняться от до .

(1.11)

В этой задаче поле обладает цилиндрической симметрией. Напряжённость поля прямо пропорциональна линейной плотности заряда на нити  и обратно пропорциональна расстоянию а от нити до той точки, где измеряется напряжённость.

6. Применение Т. Гаусса. электростат. Поле бескон. зар-ной плоскости, сфер. поверхности.

Пример 1. Поле заряда q, равномер­но распределенного по поверхности сфе­ры Рис. 14.4

р адиуса R с поверхностной плотно­стью б= q/(4ПR2). Система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметричны от­носительно центра О сферы. Вектор напряженности поля имеет только радиальную составляющую: E=E_rr/r, где r - радиус-вектор, проведенный из центра О сферы в рассматриваемую точку поля; Е_r - проекция вектора Е на радиус-вектор r, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра О. Поэтому за гауссову поверхность S следует взять сферу радиуса r с центром в точке О. Тогда (14.10)

Если r>=R, то <qохв = q и, по теореме Остроградского-Гаусса (14.9),

Е сли r<R, то qохв=0 и E_r = 0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет. Потенциал поля φ найдем из формулы (13.27) связи между потенциалом и напряженностью поля: E_r= -dφ /dr. Полагая lim φ = 0, получаем, что потенциал поля вне сферы равен

Из (14.10) и (14.10') видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков и такой же, как на ее поверхности:

(14.10")

График зависимостей Е_r и φ от r для случая, когда б>0, показаны на рис. 14.4.

7. Циркуляция эл. поля.

4°.Циркуляцией напряженности вдоль замкнутого контура L называется линейный интеграл

Этот интеграл численно равен работе, совершаемой электростатическим полем при перемещении единичного положительного электрического заряда по замкнутому пути. Так как для замкнутого пути r_i1 = r_i2, то согласно п. 3º имеем: , т. е. работа, о которой идет речь, равна нулю.

Силовое поле, напряженность Е которого удовлетворяет подобному условию, называется потенциальным полем. Электростатическое поле является потенциальным.

Дифференциальная форма условия потенциальности электростатического поля является одним из уравнений Максвелла для электростатического поля (III.14.2.1°).

8. Потенциал Эл поля. Связь напряженности и потенциала Эл поля.

1º. Работа δA (III.3.1.1) равна убыли dW_п потенциальной энергии (I.3.3.1°) заряда q', перемещающегося в электростатическом поле, и ,

где W_1пиW_2п–значения потенциальной энергии заряда q' в точках поля а и b (рис. III.3.1).

2°. Если точечный заряд q' перемещается под действием поля точечного заряда q, то изменение dW_п его потенциальной энергии при бесконечно малом перемещении:

При конечном перемещении заряда q' из точки а в точку b (рис. III.3.1) изменение ΔW_п потенциальной энергии заряда будет равно:

(в СИ),

3°. При перемещении заряда q' в поле, созданном системой n точечных зарядов (q₁, q₂, ..., q_n), изменение потенциальной энергии заряда q''

(в СИ),

где r_i1 и r_i2 – расстояния между зарядами q_i и q' до и после перемещения последнего.

4°. Для нахождения абсолютного значения потенциальной энергии, которую имеет электрический заряд в данной точке электростатического поля, необходимо выбрать начало отсчета потенциальной энергии (I.1.3.1°). Интегрирование уравнения п. 2° в общем случае дает:

,

где С – произвольная постоянная. Если считать, что W_п = 0 при r → ∞, то С = 0 и потенциальная энергия заряда q', находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

(в СИ),

При одноименных зарядах q и q' потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна и возрастает (убывает) при сближении (отдалении) зарядов. В случае взаимного притяжения разноименных зарядов W_п < 0 и возрастает до нуля при удалении одного из зарядов в бесконечность. На рис. III.3.2 показана зависимость потенциальной энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними.

5°. Потенциальная энергия W_п заряда q', который находится в поле системы точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n, равна сумме его потенциальных энергий в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

(в СИ),

где r_i – расстояние между зарядами q_i и q.

6°. Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика этого поля, представляющая собой отношение потенциальной энергии W_п заряда q' к величине заряда (в СИ). Это отношение не зависит от величины заряда q' и численно равно потенциальной энергии единичного пробного заряда (III.2.1.2°), помещенного в рассматриваемую точку поля. Примеры:

1) Потенциал электростатического поля, создаваемого одним точечным зарядом q в однородном и изотропном диэлектрике, (в СИ),

3) Потенциал уединенного проводящего шара радиуса R, имеющего заряд q, (в СИ)