1.2 Статические модели управления запасами

1.2.1 Классическая задача экономического размера заказа

Простейшие модели управления запасами характеризуются постоянным по времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Введём обозначения:

- объём заказа (количество единиц продукции)

- интенсивность спроса (измеряется в единицах продукции на единицу времени)

- продолжительность цикла заказа (измеряется во временных единицах)

Уровень запаса изменяется в соответствии с функцией, показанной на Рис. 3, где использованы приведённые выше обозначения. Объём заказа единиц размещается и пополняется мгновенно, когда уровень запаса равен нулю. Затем запас равномерно расходуется с постоянной интенсивностью спроса . Продолжительность цикла заказа для этого примера равна (в единицах времени):

(1)

Средний уровень запаса определяется соотношением .

Рис. 3 – изменение запаса в классической модели

Для построения функции затрат требуется два стоимостных параметра.

- затраты на оформление, связанные с размещением заказа,

- затраты на хранение (затраты на единицу складируемой продукции в единицу времени).

Суммарные затраты в единицу времени (обозначаются TCU⁴) можно представить как функцию от в виде суммы затрат на оформление заказа в единицу времени и затрат на хранение запаса в единицу времени, т.е. отношение суммы затрат на оформление и хранение ко времени.

(2)

Подставив (1) получаем:

(3)

Оптимальное значение объёма заказа определяется путём минимизации по функции . Предполагая, что является непрерывной переменной, получаем необходимое условие минимума, из которого можно найти оптимальное значение

(4)

Это условие является также и достаточным, так как функция выпуклая. Решение данного уравнения определяет экономический объём заказа

(5)

Оптимальная стратегия управления запасами для рассмотренной модели формулируется следующим образом.

Заказывать единиц продукции через каждые единиц времени.

В действительности пополнение запаса не может производиться мгновенно в момент размещения заказа, как предполагалось ранее. Для большинства реальных ситуаций существует положительный срок выполнения заказа (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на Рис. 4. В этом случае точка возобновления запаса имеет место, когда уровень запаса опускается до единиц.

Рис. 4 – точки возобновления заказа в классической модели

На Рис. 4 представлено изменение уровня запаса во времени при условии, что срок выполнения заказа меньше продолжительности цикла заказа, что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффективный срок выполнения заказа в виде

(6)

Где - наибольшее целое, не превышающее . Ситуация управления запасами становится такой же, как описано выше.

1.2.2 Задача экономического размера заказа с разрывами цен

Данная модель отличается от рассмотренной выше тем, что продукция может быть приобретена со скидкой, если объём заказа превышает некоторый фиксированный уровень ; таким образом, стоимость единицы продукции определяется как

(7)

где . Следовательно, затраты на приобретение продукции в единицу времени:

(8)

Используя обозначения, введённые ранее, запишем общие затраты в единицу времени:

(9)

Рис. 5 – Графики функций затрат

Графики функций представлены на Рис. 5. Так как значения этой функции отличаются только на постоянную величину, то точки их минимума совпадают и находятся в точке

(10)

График функции затрат , если идти от минимума значений аргументов, совпадает с графиком функции до точки , в которой меняется цена продукции, а затем совпадает с графиком функции . На Рис. 5 показано, что определение оптимального объёма заказа зависит от того, где находится точка разрыва цены по отношению к указанным на рисунке зонам I, II, III, которые определены как интервалы соответственно. Величина определяется из уравнения

(11)

Или

(12)

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

(13)

Рис. 6 – три случая оптимального решения

Оптимальное значение

(14)