Решение трансцендентных уравнений методом итераций
Решаемое уравнение представляют в виде x=f(x) и находят более точное значение корня х1 по первому приближению х0 с помощью формулы x1=f(x0). Повторяя этот процесс ("итерируя") несколько раз, можно получить значение корня с любой степенью точности, если на интервале между корнем уравнения и первым приближением |f '(x)| < 1. Если это условие не выполняется, то уравнение следует преобразовать (хотя бы переходом к обратной функции). Например: к уравнению x = tg x метод итераций не применим, но он применим к уравнению x = arctg x.
Вычислить с заданной точностью () площадь фигуры между дугами двух кривых:
Воспользоваться численными методами решений трансцендентных уравнений и интегрирования. Производную от функции f(x) вычислить численно. Шаг изменения аргумента х для вычисления производной выбрать равным /10.
Т15.6
Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона
Для
вычисления
промежуток от а(=x0)
до b(=xn)
разбивается на n равных частей, и для
точек деления x0,
x1,
x2,
…, xn-1,
xn
вычисляются значения интегрируемой
функции y ( полагая
).
Формула Симпсона имеет вид (n четное):
.
Т15.7
Решите систему линейных алгебраических уравнений.
Метод итераций для решения системы линейных алгебраических уравнений
Система
линейных алгебраических уравнений
(где i,
j
= 1, 2, 3, …n,
n – число неизвестных системы,) решается
методом итераций с заданной точностью
.
Вычисление с точностью
означает следующее. Вычисляется
последовательность векторов х(m)
= (x1(m),
x2(m),…,
xn(m)),
где m = 0, 1, 2, 3,… - номер шага итерации.
Если для некоторого l выполняется условие
,
,
то вектор х(l) = (x1(l), x2(l),…, xn(l)) является решением системы уравнений с точностью . Решаемая система линейных алгебраических уравнений преобразуется к виду:
.
Пример:
Системы линейных алгебраических уравнений для проверки программы:
Т15.8
Интерполяция.
Параболическая интерполяция
Какова бы ни была заданная функция f(x) и как бы ни были выбраны узлы интерполяции x0, x1, …, xn, всегда существует единственный многочлен n-й степени n(x), принимающий в этих точках те же значения, что и f(x): (xi) = f(xi) (i = 0, 1, 2, …, n). Для нахождения интерполяционного многочлена может служить формула Лагранжа:
,
где
.
Вычислите f(x) используя таблично заданные значения x0, x1, …, xn и f(x0), f(x1), …, f(xn). Таблицу значений x0, x1, …, xn и f(x0), f(x1), …, f(xn) разместить в файле.
Т15.9
Привести матрицу к треугольному виду
Пусть
дана матрица
.
Способом умножения любой строки на
константы и складывая ее с другими
строками привести матрицу к треугольному
виду. В треугольной матрице элементы,
находящиеся под главной диагональю,
имеют нулевые значения.
Т15.10
Решите дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта
Численное решение дифференциального уравнения
,
при начальных условиях:
Формулы для поиска решения:
k=0, 1, 2, 3, … .
где
Вычислить таблицу значений (x0, y0), (x1, y2), (x3, y3), … и вывести ее на экран. Уравнение для проверки программы:
.
Решение уравнения:
.