Ход выполнения работы

Дано: экспериментальные данные зависимостей активной и реактивной мощности нагрузки от напряжения в относительных единицах (см. Варианты индивидуальных заданий).

1. Выполнить расчет коэффициентов функций полиномиальной регрессии вида (85) и (86) для P(U) и Q(U) по экспериментальным данным. С использованием найденных коэффициентов записать математическую модель расчета и анализа статических характеристик нагрузки Построить графики экспериментальных и расчетных статических характеристик нагрузки. Определить величину критического напряжения U_кр по минимуму расчетной зависимости Q(U).

2. Выполнить расчет регулирующих эффектов нагрузки для заданного значения напряжения. Построить зависимости регулирующих эффектов нагрузки от напряжения. Определить величину критического напряжения U_кр по значению аргумента, при котором регулирующий эффект реактивной мощности меняет знак. Сравнить результат со значением U_кр, найденным в п.1.

3. Результаты выполнения работы по пунктам 1–2 и выводы занести в отчет. Правила оформления отчета – см. Введение в курс.

Практические рекомендации по выполнению работы и использованию программного обеспечения

Для выполнения работы понадобятся следующие панели MathCAD семейства Math (Математические):

• Graph (График): панель для вызова заготовок (форм) построения графиков;

• Matrix (Матрица): панель для ввода операторов создания, обращения, транспонирования матриц, операторы матричных индексов и столбцов, а также операторы для работы с векторами;

• Boolean (Булева алгебра): панель для задания логических операторов, а также знака логического равенства;

• Calculus (Математический анализ): панель для ввода операторов математического анализа: определенного и неопределенного интегралов, производных, пределов, сумм и произведений.

Для ввода исходных экспериментальных данных создадим матрицу с тремя столбцами и с количеством строк, равным числу экспериментальных точек. В первый столбец матрицы введем значения аргумента (относительная величина напряжения U/U_ном), во второй и третий столбец – относительные значения активной и реактивной мощности нагрузки. Введем обозначения для столбцов матрицы (Error: Reference source not found).

Для вычисления коэффициентов полиномиальной регрессии вида y = f(x) в MathCAD используется встроенная функция regress(x, y, n), у которой последний аргумент n задает степень полинома. Функция regress формирует вектор, содержащий коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Важно! Найденные коэффициенты располагаются в векторе, начиная с четвертого элемента в порядке возрастания степеней. Первые два элемента данного вектора являются служебными, третий равен коэффициенту полинома.

Пример задания функций regress для вычисления коэффициентов полиномов статических характеристик активной и реактивной составляющей нагрузки вида (85) и (86) и результат вычисления заданных функций показан на Error: Reference source not found.

Заметим, что в качестве аппроксимирующей функции для P(U) в данном примере выбрана линейная регрессия: последний аргумент функции coefficientР равен 1, т.е. уравнение (85) рассматривается для случая a_P = 0. Если в индивидуальном варианте задана нелинейная форма модели для P(U), то степень этого полинома тоже должна быть равна 2.

С использованием найденных коэффициентов запишем окончательную форму математической модели расчета и анализа статических характеристик нагрузки для рассматриваемого примера:

;

Для расчета полиномиальной регрессии, коэффициенты которой были вычислены с использованием функции regress(x, y, n), в MathCAD используется встроенная функция полиномиальной интерполяции interp(s, x, y, t), аргументы которой:

s = regress(x, y, k);

х – вектор-столбец заданных значений аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;

у – вектор-столбец заданных значений функции того же размера;

t – значение аргумента полинома регрессии.

Зададим расчет полиномиальных функций статических характеристик как показано на Error: Reference source not found.

Важно! Обратите внимание на то, что заданный в примере на Error: Reference source not found аргумент полинома регрессии х это величина напряжения, которая в отличие от дискретных исходных данных в столбце U, является непрерывной и будет использована далее для построения графиков расчетных функций.

Построим графики экспериментальных и расчетных статических характеристик нагрузки. Расчетные статические характеристики Preg(x) и Qreg(x) являются функциями непрерывного напряжения х, диапазон изменения которого для построения графика необходимо задать как показано на Error: Reference source not found. Для сравнения расчетных характеристик с экспериментальными данными вывод последних в поле построения графика задается как дискретные функции, значения P_i и Q_i которых, а также общий аргумент U_i выбираются из соответствующих столбцов исходных данных по порядковому номеру i.

Важно! При задании в маркерах ввода поля построения графиков P_i, Q_i и U_i используйте оператор индекс в панели Matrix (Матрица), который имеет вид .

На Error: Reference source not found линиями показаны расчетные графики статических характеристик, а отдельными маркерами-символами нанесены соответствующие экспериментальные данные. Как видно, расчетные характеристики достаточно точно описывают экспериментальные зависимости.

Для форматирования графиков указанным выше образом в окне Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика X-Y) следует выбрать закладку Трассировка и задать вывод первых двух графиков линиями разной гарнитуры, а двух последних, экспериментальных, – символами без соединительных линий, как показано на Error: Reference source not found. Выбор активизируется щелчком мыши по правой стороне соответствующей ячейки – при этом в ячейке появляется значок раскрывающегося списка.

Зададим взятие производных от найденных расчетных функций статических характеристик и выполним расчет регулирующих эффектов нагрузки для некоторого значения напряжения, например, для номинального, т.е. для U/U_ном = 1, воспользовавшись для задания производной соответствующим оператором панели Calculus (Математический анализ) как показано на Error: Reference source not found.

Как видно (см. Error: Reference source not found), при номинальном напряжении регулирующие эффекты активной и реактивной мощности являются положительными, и составляют, соответственно, 0,583 и 2,292.

Для определения величины критического напряжения U_кр по минимуму расчетной зависимости реактивной мощности от напряжения воспользуемся встроенной функцией Minimize(y, x), которая возвращает значение аргумента х, при котором ранее заданная функция y принимает минимальное значение. Для обеспечения поиска необходимо задать начальное приближение аргумента, определив его приблизительно по графику (Error: Reference source not found). Как следует из результата вычисления U_кр составляет 0,705 от U_ном.

Построение зависимостей регулирующих эффектов нагрузки от напряжения показано на Error: Reference source not found. Как видно, регулирующий эффект активной мощности не меняется, т.к. модель этой статической характеристики была выбрана линейной. Регулирующий эффект реактивной мощности изменяется и меняет знак при величине напряжения, равной U_кр.

Для определения U_кр по функции регулирующего эффекта реактивной нагрузки необходимо определить точное значение аргумента, при котором функция принимает значение, равное 0 (происходит смена знака производной реактивной мощности по напряжению с «плюс» на «минус»).

Для решения уравнений в MathCAD используется специальный вы­числительный блок Given-Find, который имеет следующую структуру:

• начальное приближение;

• вводное слово Given;

• уравнение, в котором качестве знака равенства нужно использовать логическое равенство (вводится с панели инструментов Boolean (Булева алгебра) или сочетанием клавиш Ctrl и =);

• функция Find(имя переменной), которая возвращает значение решения уравнения.

Определение U_кр по функции регулирующего эффекта реактивной нагрузки показано на Error: Reference source not found. Как видно, результат анализа совпадает со значением, ранее найденным по минимуму зависимости реактивной мощности от напряжения (0,705 от U_ном).