2.1. Основные понятия теории разностных схем
Одним из методов изучения физических задач является их численное моделирование. Ниже рассмотрены конечно-разностные методы решения задач гидроаэродинамики исследованных ранее моделей. Определим основные понятия теории разностных схем.
Для
аппроксимации первых производных
введем следующие разностные операторы:
оператор правой разности
,
оператор левой разности
и оператор центральной разности
,
действующие на сеточную функцию
,
которая определенна на регулярной
сетке. Первые два оператора имеют
первый, а последний
второй
порядки точности и аппроксимируют
пространственные производные.
Для
аппроксимации пространственной
производной второго порядка используем
разностный оператор
,
а временная производная
.
Если индекс «
»
заменяется на номер «n»,
то схема является явной, а если
на номер «n+1» то неявной.
Замечание. Разностные операторы введены для одномерной задачи. Для общего случая они строятся аналогично.
Аппроксимацию исходного уравнения и краевых условий назовем разностной схемой.
Для анализа устойчивости разностных схем будем пользоваться спектральным методом. При анализе нелинейных уравнений устойчивость схемы будем проверять для линеаризованных уравнений или уравнений с замороженными коэффициентами.
Построение разностных схем начнем со следующих часто встречающихся модельных дифференциальных уравнений (см.[7]):
, (19)
,
(20)
,
(21)
.
(22)
Здесь
.
Заметим, что два последних уравнения нелинейные.
2.2 Явные разностные схемы для модельных уравнений
Для
численного решения уравнения (19)
используем следующее явное разностное
уравнение
,
аппроксимирующее уравнение (19) с порядком
.
Проведем анализ устойчивости, отыскивая
решение разностного уравнения в виде
гармоники:
(23). Здесь
,
.Получим
характеристическое уравнение
.
(24)
Для устойчивости разностного уравнения корни характеристического уравнения должны по модулю быть не больше единицы. Преобразуя уравнение (24) имеем:
.
В результате получаем
и схема является неустойчивой.
Для
того, чтобы схема стала устойчивой,
необходимо аппроксимировать оператор
,
учитывая знак числа
и
используя односторонние разности (схема
против потока). Разностная схема
аппроксимирует
уравнение (19) с порядком
и условно устойчива. Характеристическое
уравнение
и
если
.
(25)
Условие (25) и есть условие устойчивости схемы, называемое условием Куранта-Фридрихса-Леви (CFL).
Повысить
запас устойчивости первоначальной
схемы
можно и не уменьшая порядка точности.
Для этого усредним первое слагаемое в
правой части уравнения и рассмотрим
следующую схему Лакса:
Схема
условно устойчива, но с условной
аппроксимацией.
Аналогично строятся разностные схемы и для уравнения (20) с вязким слагаемым. Разностная схема:
аппроксимирует
(20) с порядком
и условно устойчива при выполнении
условия
.
Рассмотрим несколько явных разностных уравнений второго порядка аппроксимации по времени и по пространству. Это двухшаговые схемы Лакса-Вендрофа и Маккормака типа «предиктор-корректор».
Разностная схема Лакса-Вендрофа для уравнения (1) имеет следующий вид:
Здесь
значения сеточной функции на дробном
временном шаге.
Покажем,
что схема второго порядка аппроксимации
при выборе шага
.
Из первого уравнения выразим значения
сеточной функции на дробном шаге и
подставим во второе уравнение. Получим
уравнение в целых шагах, эквивалентное
исходному.
Преобразуя
разностные операторы и заменяя
,
получаем следующую разностную схему
,
имеющую
порядок аппроксимации 
.
Схема Лакса-Вендрофа условно устойчива. Условие устойчивости совпадает с условием устойчивости (25).
Модификации этой схемы, не требующие введения дробных шагов, предложены Маккормаком. Один из вариантов схемы Маккормака для нелинейного уравнения (21):
Порядок аппроксимации схемы Маккормака . Схема условно устойчива.
Замечания. После линеаризации схема Маккормака в целых шагах совпадает со схемой Лакса-Вендрофа, поэтому порядок аппроксимации у нее такой же, как и у схемы Лакса-Вендрофа.
Рассмотренные явные схемы имеют ограничения на временной шаг (условие CFL), что приводит к значительному увеличению расчетного времени. Для получения безусловно устойчивых схем необходимо использовать неявные аппроксимации исходных уравнений.