Кручение бруса круглого сечения.

Нанесем на поверхность скручиваемого бруса сетку продольных и попе-

-речных линий (рис. 3А). При действии на свободном торце скручиваю-

-щего момента Мz, продольные линии сетки превратятся в винтовые ли-

-нии, а поперечные линии, которые являются следами плоскостей попе-

-речных сечений, не перемещаются в осевом направлении, но поворачи-

-ваются вокруг оси бруса. Таким образом, теория кручения круглого бру-

-са основана на следующих гипотезах:

* Поперечные сечения бруса остаются плоскими, нормальными к оси

бруса и не перемещаются в осевом направлении.

* Радиусы поперечных сечений остаются прямолинейными.

Вырежем из бруса элемент двумя близкими поперечными сечениями

и рассмотрим поворот левого сечения относительно правого на малый

угол “ d Fi “ ( рис. 4). Рассмотрим перемещение точки А вдоль окружности радиуса “r “ в положение В:

АВ = Г*dz = r*d Fi.

Откуда следует:

Г= Ɵ* r ,

где Ɵ = d Fi/ dz -- относительный угол закручивания бруса, размерностью [1/M].

Согласно закону Гука (1):

Т = G Ɵ r. (2)

Остается определить Ɵ, что сделаем просуммировав моменты касатель-

-ных сил относительно оси бруса и приравнивая эту сумму Мz:

Mz = $$(T*dA)*r =GƟ $$ (r**2)* dA.

Из теории плоских сечений известно, что $$(r**2)* dA представляет

cобой полярный момент инерции круглого сечения Jp =π*R**4/2.

Тогда Ɵ = Mz / (G*Jp). (3)

Подставляя (2) в (3) , получим касательное напряжение в любой точке

Поперечного сечения бруса:

T = Mz*r / Jp. (4)

Как следует из (4), касательное напряжение в функции «r» является ли-

-нейной функцией и достигает максимума на внешнем радиусе бруса:

Т max = Mz / Wp , где Wp = Jp/ R размерностью [ М**3].

Обычно Jp и Wр выражают через диаметр бруса d:

Jp = πd**4/32 ; Wp = πd**3/16.

Для кольцевого сечения с наружным диаметром D и внутренним d:

Jp =(πD**4/32)*(1 – C**4); Wp = (πD**3/16)*(1 – C**4), где C = d/D.

Условие прочности для бруса постоянного сечения будет:

Τ = Mz max / Wp ≤ [T] .

Допускаемое касательное напряжение [T] =Tt/nt, где Tt предел теку-

-чести материала при чистом сдвиге, определяемый из испытаний образ-

-цов материала на кручение;n t – коэффициент запаса прочности.

При расчете допускаемого диаметра вала часто используют формулу:

3 _____________________

d≥ V 16 Mz / π [T] .

Угол закручивания участка бруса постоянного сечения, но с переменным

крутящим моментом будет:

Ҩ =$ Mz*dz / (GJp).

При постоянном крутящем моменте:

Ҩ = Mz*L/ (GJp). (5)