4.0 Наглядный график

4.1 Основная формула для нахождения доверительного интервала

P{ f* S_x² /x²_f,1-a/2 < D_x < f* S_x² /x²_f,a/2 } = P₀ , где x²_f,a/2 - квантиль распределения Пирсона

4.2 Значения t_a/2 для разных доверительных вероятностей

x²_1,1-a/2 = 2,088 - для Р₀ = 0.99%

x²_1,a/2 = 21,666

x²_2,1-a/2 = 3,325 - для Р₀ = 0.95%

x²_2,a/2 = 16,919

x²_3,1-a/2 = 4,17 - для Р₀ = 0.90%

x²_3,a/2 = 14,68

4.3 Поиск значений доверительных интервалов для каждого уровня значимости.

4.3.1 Для уровня значимости - a = 1%

f* S_x² /x²_f,1-a/2 = 2503,433

f* S_x² /x²_f,a/2 = 241,261

Т.о. 241,261 < D_x < 2503,433 - C вероятностью 99% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

4.3.2 Для уровня значимости - a = 5%

f* S_x² /x²_f,1-a/2 = 1572,081

f* S_x² /x²_f,a/2 = 308,952

Т.о. 308,952 < D_x < 1572,081 - C вероятностью 95% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

4.3.3 Для уровня значимости - a = 10%

f* S_x² /x²_f,1-a/2 = 1217,77

f* S_x² /x²_f,a/2 = 345,92

Т.о. 345,92 < D_x < 1217,77 - C вероятностью 90% дисперсия будет находиться в данном

диапазоне.

Задача №2 Вариант 5а

Большая выборка

1. Начальная отсортированная выборка из первой лабораторной работы

100,3	103	108,4	111,9	116,1	119,6	122,1	128,1	132,2	135,7
100,4	103,6	108,5	112,1	116,1	119,9	122,6	128,9	132,3	136,4
100,7	103,6	108,6	112,1	116,3	119,9	123	129	133	136,6
100,9	103,9	109	112,1	116,7	119,9	123	129,7	133,2	136,7
101	105,6	109,1	112,9	116,8	120,6	123,3	129,8	133,5	138,2
101	105,9	109,3	113,2	116,9	121,1	123,7	130,1	133,6	138,4
101	106,5	109,5	113,3	117,5	121,6	123,8	130,1	133,7	138,6
102,1	106,9	110	114,2	117,9	121,7	124,2	130,8	133,8	139,1
102,2	107,4	110,1	114,6	118,4	121,7	125,7	131,1	134,9	139,1
102,5	107,5	110,3	114,8	118,5	121,7	126,7	131,6	135,2	139,3
102,6	108,1	110,8	114,9	118,9	121,7	127,6	131,8	135,6	139,8
102,8	108,3	111,6	115,5	119,5

2. Оценки характеристик, рассчитанные во второй работе и прочие характеристики

х = 119,0365 - среднее арифметическое

S_x² = 135,3846194 - оценка дисперсии

S_x = 11,66103164 - оценка СКО

N = 115 - объем выборки

a = 1 - P₀ = 1%, 5%, 10%. - уровни значимости, где Р₀ - доверительная вероятность.

3. Нахождение доверительного интервала для мат. ожидания (большая выборка)

3.0 Наглядный график

3.1 Основная формула поиска доверительной вероятности

P{x-U_a/2* S_x /√N < m_x< x+U_a/2* S_x /√N } = P₀ где U ~ N(0,1)

3.2 Значения U_a/2 для разных доверительных вероятностей

U₁ = 2.58 - для Р₀ = 0.99%

U₂ = 1.96 - для Р₀ = 0.95%

U₃ = 1,64 - для Р₀ = 0.90%

3.3 Поиск значений доверительных интервалов для каждого уровня значимости.

3.3.1 Для уровня значимости - a = 1%

x-U_a/2* S_x /√N = 119,0365- 2.58*11,661/√115 = 119,0365- 2,8 = 116,2365

x+U_a/2* S_x /√N = 119,0365+ 2.58*11,661/√115 = 119,0365+ 2,8 = 121,8365

Т.о. 116,2365 < m_x < 121,8365 - C вероятностью 99% мат.ожидание будет находиться в данном диапазоне.

3.3.2 Для уровня значимости - a = 5%

x-U_a/2* S_x /√N = 119,0365- 1.96*11,661/√115 = 119,0365- 2,13 = 116,9065

x+U_a/2* S_x /√N = 119,0365+ 1.96*11,661/√115 = 119,0365+ 2,13 = 121,1665

Т.о. 116,9065 < m_x < 121,1665 - C вероятностью 95% мат.ожидание будет находиться в данном диапазоне.

3.3.3 Для уровня значимости - a = 10%

x-U_a/2* S_x /√N = 119,0365- 1,64*11,661/√115 = 119,0365 - 1,78 = 117,2565

x+U_a/2* S_x /√N = 119,0365+ 1,64*11,661/√115 = 119,0365 + 1,78 = 120,8165

Т.о. 117,2565 < m_x < 120,8165- C вероятностью 90% мат.ожидание будет находиться в данном диапазоне.

4. Нахождение доверительного интервала для дисперсии (большая выборка)

4.0 Используем тот же график, что и для нахождения доверительного интервала для мат. ожидания.

4.1 Основная формула для нахождения доверительного интервала

P{ S_x² - U_a/2*K < D_x < S_x² + U_a/2*K } = P₀ , где K = √(2/(N-1))* S_x²