Комментарии к списку вопросов
Требования к ответам на вопросы при написании контрольных работ и на экзамене одинаковы. На оценки «4» и «5» доказательства не обязательны: нужно знать определения, формулировки лемм, теорем, следствий и свойств, самостоятельно уметь приводить примеры. На оценки «6»–«10» дифференцированно требуются также и доказательства утверждений, что указано в приведенной ниже таблице (табл. 12). В случае отсутствия номера вопроса или названия утверждения в табл. 12 на все оценки при ответе требуется приводить лишь формулировки, это касается и тех утверждений, которые приводились в теоретическом разделе без доказательств.
Таблица 12
Требования к ответам на вопросы
№ вопроса |
Названия утверждений (их номера в теоретическом разделе) |
На какую оценку требуются доказательства |
1 |
2 |
3 |
3 |
Критерий подгруппы (3.3.1) |
«6»–«10» |
4 |
Теорема о существовании циклической подгруппы (3.3.2). Теорема о порядке циклической подгруппы (3.3.3). Теорема о подгруппе циклической группы (3.3.4) |
«6»–«10» |
5 |
Теорема о разбиении группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе (3.4.1) |
«6»–«10» |
6 |
Теорема Лагранжа (3.4.2) и следствия 1 и 2 из нее |
«6»–«10» |
7 |
Критерий нормальности подгруппы (3.4.3) |
«7»–«10» |
8 |
Теорема о порядке группы Sn (3.5.1) |
«6»–«10» |
9 |
Теорема о разложении подстановки в произведение независимых циклов (3.5.2) |
«7»–«10» |
9 |
Следствие из теоремы 3.5.2 о порядке подстановки в Sn |
«6»–«10» |
10 |
Теорема о разложении подстановки в произведение транспозиций (3.5.3). Теорема о знакопеременной группе Аn (3.5.4) и следствие из нее |
«6»–«10» |
11 |
Теорема о существовании факторгруппы (3.6.1) |
«6»–«10» |
12 |
Свойства факторгрупп (1, 2) |
«6»–«10» |
13 |
Свойства гомоморфизмов групп (1, 2) |
«7»–«10» |
14 |
Свойства гомоморфизмов групп (3, 4) |
«7»–«10» |
14 |
Первая теорема о гомоморфизмах групп (3.7.1) |
«6»–«10» |
15 |
Вторая теорема о гомоморфизмах групп (3.7.2) |
«7»–«10» |
15 |
Теорема об изоморфизме циклических групп (3.7.3) |
«6»–«10» |
16 |
Теорема Кэли (3.7.4) |
«8»–«10» |
16 |
Теорема о мономорфизме из Sn в GLn(Q) (3.7.5) |
«7»–«10» |
17 |
Теорема о группе автоморфизмов Aut(G) (3.7.6) |
«6»–«10» |
Продолжение табл. 12
1 |
2 |
3 |
17 |
Теорема об автоморфизмах конечной абелевой группы (3.7.7) |
«7»–«10» |
20 |
Свойства колец (1–6) |
«6»–«10» |
21 |
Теорема о мультипликативной группе кольца (4.1.1). Свойства полей (1, 2) |
«6»–«10» |
23 |
Теорема об идеалах кольца целых чисел (4.2.1). Критерий максимальности идеала кольца целых чисел (4.2.2) |
«6»–«10» |
24 |
Теорема о делении с остатком в кольце полиномов над полем (4.3.2) |
«6»–«10» |
25 |
Свойства делимости полиномов (1–7). Теорема о мультипликативной группе кольца полиномов над полем (4.3.1) |
«6»–«10» |
26 |
Теорема о нахождении НОД из теоремы о делении с остатком (4.3.4). Теорема-аналог алгоритма Евклида нахождения НОД полиномов (4.3.5) |
«6»–«10» |
27 |
Соотношение Безу для НОД двух полиномов (4.3.6) и следствие для произвольного числа полиномов. Теорема-критерий взаимной простоты полиномов (4.3.7) и следствия 1 и 2 из нее |
«6»–«10» |
28 |
Теорема о разложении на множители в кольце полиномов (4.4.1). Теорема о бесконечности множества неприводимых над полем полиномов (4.4.2) |
«6»–«10» |
29 |
Теорема об идеалах кольца полиномов над полем (4.3.3). Критерий максимальности идеала кольца полиномов над полем (4.4.3) |
«6»–«10» |
30 |
Теорема Безу (4.4.4) и следствия 1–4 из нее. Теорема о числе корней многочлена (4.4.5). Следствие 1 из основной теоремы алгебры (4.4.6) |
«6»–«10» |
31 |
Следствие 2 из основной теоремы алгебры (4.4.6). Теорема о корнях в Q полиномов из Z[x] (4.4.7) и следствие из нее. Признак Эйзенштейна (4.4.8) |
«7»–«10» |
32 |
Теорема о существовании факторкольца по двустороннему идеалу кольца (4.5.1). Лемма о мощности фактор-множества Fq[x]/(f(x)) (4.5.1) |
«6»–«10» |
33 |
Критерий поля для факторкольца ассоциативного и коммутативного кольца с единицей по собственному идеалу (4.5.2) |
«8»–«10» |
33 |
Следствия 1 и 2 из теоремы 4.5.2 |
«6»–«10» |
34 |
Свойства гомоморфизмов колец (1–4) |
«6»–«10» |
35 |
Свойства гомоморфизмов колец (5, 6). Первая теорема о гомоморфизмах колец (4.6.1) |
«6»–«10» |
36 |
Вторая теорема о гомоморфизмах колец (4.6.2) |
«7»–«10» |
37 |
Теорема существования корня полинома (4.6.3) |
«8»–«10» |
37 |
Следствия 1–3 из теоремы 4.6.3 |
«6»–«10» |
38 |
Теорема о взаимно однозначном соответствии между идеалами колец при эпиморфизме (4.6.4) |
«8»–«10» |
38 |
Следствие из теоремы 4.6.4 |
«6»–«10» |
Окончание табл. 12
1 |
2 |
3 |
39 |
Теорема о значении ненулевой характеристики кольца (4.7.1). Формула бинома Ньютона в кольцах ненулевой характеристики (4.7.2) |
«6»–«10» |
40 |
Теорема о минимальных полях нулевой и ненулевой характеристик (4.7.3). |
«7»–«10» |