Если этот сигнал разложить в ряд Фурье…
… получаем
синусоиды различных частот
Пример 1.
Разложение в ряд Фурье сигнала пилообразной формы
Находим коэффициенты аk и bk.
Формула интегрирования по частям:
Получим:
6.2.Четная и нечетная функция
В
примере, рассмотренном выше, при
разложении в ряд Фурье пилообразной
функции все слагаемые, содержащие
косинусы, исчезли и остались только
слагаемые, содержащие синусы. В то же
время при разложении функции
в ряд Фурье все слагаемые, содержащие
синусы, исчезли и остались лишь слагаемые,
содержащие косинусы. Почему так
происходит?
Обратите внимание на то, что функция обладает следующим свойством:
то есть она симметрична относительно оси ординат. Такая функция называется четной.
Пилообразная функция (Рис. 5.3) обладает другим свойством:
Эта
функция симметрична относительно точки
отсчета. Такая функция называется
нечетной.
Рис.
5.4
поясняет
разницу между четной и нечетной функциями.
Рис. 5.4. Четные и нечетные функции
Очевидно, что coskt (k = 0, 1, 2, …) – четная функция, а sinkt (k = 1, 2, …) – нечетная (Рис. 5.5).
Понятно, что если проинтегрировать произведение четной и нечетной функций на отрезке, симметричном относительно начала координат, то значение интеграла равно 0.
Следовательно, если сигнал f(t) является четной функцией, то, поскольку sinkt – функция нечетная, получим:
bk
=
=0,
(k=1,2,…).
Если же функция f(t) – нечетная, то, учитывая то, что coskt является четной функцией, получим тот же результат (Рис. 5.5):
аk
=
=0,
(k=1,2,…).
Отсюда
можно сделать вывод, что 
ряд
Фурье четной функции содержит только
косинусы, а ряд Фурье нечетной функции
содержит только синусы.
coskt – четная функция sinkt – нечетная функция
Рис. 5.5. Интегрирование произведения четной и нечетной функций
6.3. Разложение при периоде, не равном 2π
До этого момента мы рассматривали функцию переменной t на отрезке [-π; π]. В случае периодического сигнала с периодом 2π мы брали этот интервал за основной. В общем случае периодического сигнала с периодом Т при разложении в ряд Фурье мы должны использовать интервал [-T/2; T/2]. Если интервал [-π; π] расширить (или сократить) до интервала [-T/2; T/2], то и период первой гармоники увеличится (или уменьшится) от 2π до Т. Поскольку кратность этого преобразования равна T/2π, то составляющие первой гармоники примут вид:
cos
t sin
t .
Для составляющих k-й гармоники можно записать:
cos kt sin kt .
Следовательно, если функцию f(t) разложить в ряд Фурье на интервале [-T/2; T/2], получим:
(5.3)
Если обозначить угловую частоту через ω0, то поскольку ω0=2π/T, выражение (5.3) можно записать и в таком виде:
В соотношении (5.2), определяющем коэффициенты Фурье на отрезке [-π; π],
аk =
произведем замену переменной
t ω0 t,
а также – замену отрезка, на котором берется интеграл
[-π; π] [-T/2; T/2].
Оставив функцию f(t) без изменения, получим
ak=
(k=0, 1, 2, …).
Аналогичным образом выводится следующее соотношение:
ak=
(k=1, 2, …).
(5.5)