8 Системы одновременных уравнений
8.1 Необходимость использования систем уравнений
Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. В большинстве случаев моделирование МНК для оценки параметров таких моделей является наиболее подходящей процедурой. Однако ряд экономических процессов моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так и собственные переменные. В силу этого возникает необходимость использования систем уравнений. Кроме того, в одних уравнениях определенная переменная рассматривается как объясняющая, но в то же время она входит в другое уравнение как зависимая переменная. Приведем примеры таких систем.
1. Модель «спрос-предложение»
Данная
модель является одной из простейших
систем одновременных уравнений. В этом
случае, предполагая, что спрос
и предложение
в момент времени
являются линейными функциями от цены
,
получаем систему:
(8.1)
Наличие случайных отклонений в данных моделях связано прежде всего с отсутствием ряда важных объясняющих переменных (дохода, цен сопутствующих товаров, вкусов и т.д.). Очевидно, что изменение одного из этих факторов может отразиться на модели.
Однако модель (8.1) может быть усовершенствована. Например, можно в функцию спроса добавить доход потребителя :
(8.2)
2. Кейнсианская модель формирования доходов
Рассмотрим простейшую модель данного типа в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов:
(8.3)
Здесь
– совокупный выпуск, объемы потребления
и инвестиций соответственно (
– значения этих переменных в момент
времени
).
3. Модели is-lm
Одной из возможных нестохастических форм модели IS (равновесия на рынке товаров) является следующая модель:
(8.4)
Здесь
– значения в момент времени
национального дохода
,
потребления
,
желаемого объема чистых инвестиций
,
государственных расходов
(в данном случае
),
объема налогов
,
располагаемого дохода
,
процентной ставки
.
Преобразуем макроэкономическое тождество:
Получаем:
(8.5)
где
.
Формула (8.5) является выражением кривой IS, задающей такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.
Линия LM (линия равновесия на рынке денег) задает такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из нестохастических форм данной модели имеет вид:
(8.6)
Тогда функцию спроса на деньги можно представить в виде:
(8.7)
где
.
Соотношение (8.7) известно как уравнение LM.
Модель IS-LM представлена на рисунке 8.1.
Рис. 8.1
Точка пересечения данных кривых определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия.
8.2 Составляющие системы уравнений
При рассмотрении систем одновременных уравнений переменные делятся на два класса: эндогенные переменные – переменные, значения которых определяются внутри модели, и экзогенные переменные – внешние по отношению к модели переменные.
Для
системы (8.1) все переменные –
– являются эндогенными, так они
определяются внутри системы. Для системы
(8.3) переменные
являются эндогенными, а переменная
– экзогенная, так как она определяется
вне модели.
Уравнения, составляющие исходную модель, называют структурными уравнениями модели. Их подразделяют на поведенческие уравнения (описывают взаимодействия между переменными) и уравнения-тождества (соотношения, которые должны выполняться во всех случаях).
Уравнения, в которых определена схема определения эндогенных переменных через экзогенные или предопределенные переменные, называются уравнениями в приведенной форме (приведенными уравнениями).
Предопределенные переменные – лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения соотношения.