3. Построение эпюр внутренних усилий в пространственных стержнях.

1. О выборе глобальной и локальных систем координат

Глобальная система координат, в качестве которой удобно принимать прямоугольную декартову систему XYZ, позволяет задать положение узлов пространственного стержня, длины его участков, нагрузку и определить реакции в опорных связях из шести уравнений равновесия всего стержня. При этом число опорных связей также должно равняться шести и они должны быть расставлены рационально (т.е. система статически определимая и геометрически неизменяемая). Примеры таких систем приведены на рис. 3.1., 3.2.,

В том случае, если все шесть опорных связей наложены на одно сечение (рис. 3.2), стержень является пространственно защемленной консолью.

Локальные системы координат следует относить к отдельным (чаще всего – прямым) участкам стержней.

В этом случае на i-том участке, определяемом узлами m, n

( рис.3.3), начало координат обычно совмещается с узлом с меньшим номером m и ось X_i направлена к узлу с большим номером n. Остальные оси выбираются по правилу X_i Y_i Z_i. З ависимости для внутренних усилий на участке i (Nⁱ(x_i), Q (x_i), Q (x_i). M (x_i), M (x_i), M (x_i)) определяются в локальной системе координат как функции с переменной x_i. При этом для индексации усилий и определении их знаков используются оси , , , относящиеся к рассматриваемому сечению (см. рис.1.6 – 1.9).

В тех случаях, когда это удобнее, зависимости для внутренних усилий можно находить как функции глобальных координат сечений (Nⁱ (x,y,z), Q (x,y,z), Q (x,y,z), M (x,y,z), M (x,y,z), M (x,y,z)).

3.2. Построение эпюр внутренних усилий в пространственном ломаном стержне с ортогонально ориентированными участками.

ПРИМЕР 1

Для ломаного бруса, изображенного на рис.3.4,а, построить эпюры внутренних усилий.

РЕШЕНИЕ.

При составлении выражений для внутренних усилий введем локальные системы координат (Х_i, Y_i, Z_i) на грузовых участках, а для обозначений внутренних усилий используем локальные оси , (см. рис.1.6–1.9).

1-й участок, 0 1м.

На грузовом участке 1 крутящий момент отсутствует, т.к. в рассматриваемой части бруса (справа от сечения) единственная сила F₁ пересекает продольную ось бруса ось Х₁. (рис.3.5,а). М_Х1=М_t1=0.

Р ис.3.4

Выражения для изгибающих моментов на этом участке имеют вид:

;

;

м; кНм;

(растягиваются волокна со стороны отрицательной полуоси –Z_1, поэтому ординаты на эпюре М_И откладываем с той же стороны см рис.3.4,б).

М (х₁)=0; М = =0;

Q =–25 кН; N⁽¹⁾=Q =0.

Рис.3.5

2-й участок 0 0,5м.

На 2-м грузовом участке (рис.3.5,б) крутящий момент тоже отсутствует, т.к. на левой отсеченной части действует только внешний момент М_у= 20 кНм, вызывающий изгиб в вертикальной плоскости (рис.3.4,в).

; (растягиваются волокна со стороны положительной полуоси ). ; .

N⁽²⁾=Q =Q =0.

3-й участок 0 1,5м.

На вертикальном грузовом участке 3 тоже рассматриваем верхнюю отсеченную часть (рис.3.5,в):

Изгибающие моменты - ;

, ;

м, кНм;

(растягиваются волокна, со стороны положительной полуоси ).

;

, кНм. (растягиваются волокна м, кНм. со стороны положитель- м, кНм. ной полуоси

(рис. 3.4,б).

Крутящий момент – М = М = –F₁1м = –25 кНм.

Эпюра крутящих моментов М_t представлена на рис.3.4,в.

N⁽³⁾=0; Q =–q x₃=–10x₃;

x₃=0, Q (0)=0; x₃=1,5м, Q (1,5)=15 кН.

Q =F=25 кН.

Эпюру Q см. рис.3.4,г.

ПРИМЕР 2

Для ломаного бруса, изображенного на рис.3.6,а, требуется построить эпюры внутренних усилий.

РЕШЕНИЕ.

1. Строим эпюры внутренних усилий, используя приведенную в предыдущем примере методику, (для каждого грузового участка используем локальную систему координат).

1

₁

-й участок, 0 x₁ 1м.

Изгибающие моменты:

М = –M_Z–q =–15–20 ; x₁=0;М (0)=–15кНм; (растягиваются волокна со стороны положительной полуоси ).

Р ис. 3.6

x₁=0,5м; М

Х₁

(0,5)=–15–20 =–17,5кНм.

x₁=1м; М (1)=–15–20 =–25 кНм.

М =F₁x₁=20 x₁;

x ₁=0; М (0)=0;

x₁=1м; М (1)=201м=20 кНм.

(растягиваются волокна со стороны отрицательной полуоси ).

Крутящие моменты

M =M =0

П

родольные силы N⁽¹⁾=0.

Поперечные силы Q =q x₁;

х₁=0; Q =0.

x₁=1м; Q (1)=20 кН.

Q = –F₁= –25 кН.

2-й участок; 0 x₂ 2м.

Изгибающие моменты:

М = +М_Z+q10,5=

=15+2010,5= 25 кНм.

(Растягиваются волокна со стороны отрицательной полуоси )

М (x₂)= –F₁х₂= –20х₂;

х₂=0; М (0)=0;

х₂=2м; М (2)=–40 кНм (растягиваются волокна со стороны положительной полуоси ).

Крутящий момент: M =M = –F₁1м= –20 кНм.

Продольная сила: N⁽²⁾= –300–q1м= –320 кН.

Поперечные силы: Q =0; Q =F₁=20 кН.

По полученным значениям строим эпюры внутренних усилий (рис.3.6, в, г, д).

Вопросы для самопроверки.

1. В чем заключается суть метода сечений?

2. Что такое стержень?

3. Какие стержни называются линейными, плоскими и пространственными?

4. К каким внутренним усилиям в поперечном сечении приводятся проекции главного вектора и главного момента?

5 Приведите рабочее правило для определения продольной силы N в любом сечении стержня.

6. Приведите рабочее правило для определения поперечной силы Q в любом сечении стержня.

7. Приведите рабочее правило для определения изгибающего момента М в любом сечении стержня.

8. Приведите правила знаков для внутренних усилий – N, Q, M_и, М_t.

9. Покажите порядок построения эпюр внутренних усилий в стержнях с ломаной в плоскости осью.

10. Покажите порядок проверки эпюр методом вырезания узлов.

11. Какие имеются дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки?

12. Какие особенности имеют эпюры внутренних усилий в местах приложения внешних сосредоточенных сил, моментов, начала или конца распределенной нагрузки?

13. Как изменяются изгибающие моменты и поперечные силы на участках стержня, где имеется равномерно распределенная нагрузка и при ее отсутствии?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В.Дарков, В.С.Шапиро. –5-е изд.,перераб. и доп. –М.:Высш. шк., 1989. –622 с.

2. Александров А.В. Сопротивление материалов / А.В.Александров, В.Д.Потапов, Б.П.Державин; Под ред, А.В.Александрова. –М.: Высш. шк., 1995. –560 с.; 2000. –560 с.

3. Варданян Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г.С.Варданян и др. –М.: Изд. АСВ, 1995.

4. Крамаренко А.А. Построение эпюр внутренних усилий. Методические указания / А.А.Крамаренко. –Новосибирск: НИСИ, 1992. – 48 с.

5. Валиев Ф.С. Сопротивление материалов. Методические указания и контрольные задания для студентов всех специальностей и форм обучения / Ф.С.Валиев. –Новосибирск: НГАСУ, 2003. –52 с

2