2 Нормальное (гауссово) распределение

Если диффузия осуществляется из поверхностного источника с ограниченным количеством примеси (случай слабого легирования), закон распределения примеси атомов в полупроводнике описывается экспоненциальной функцией (функция Гаусса):

, (7)

где Q – количество атомов примеси, нанесенных на поверхность перед началом диффузии (атом /см²).

Функция ехр (- z²) представлена в полулогарифмическом и линейном масштабах на рис.1 (П1).

Поверхностная концентрация Ns в выражении (7) не является постоянной величиной и зависит от нескольких факторов:

(8)

где Q - количество примесных атомов на единицу площади бесконечно тонкого поверхностного слоя, из которого ведется диффузия.

На рис.2 показаны профили концентрации примеси при диффузии, проходящей по нормальному закону, в некоторые моменты времени.

N(x, t)

t₁ t₃ > t₂ > t₁

t₂

t₃

x

расстояние от поверхности

Рис. 2–Профили примеси при диффузии по нормальному закону

В этом случае поверхностная концентрация со временем уменьшается, а площадь под кривой остается постоянной. При диффузии, происходящей по нормальному закону, поверхностная концентрация меньше, а глубина диффузии больше, чем при диффузии, происходящей по закону дополнительной функции ошибок (дополнительного интеграла вероятности). Для базовой диффузии принято считать, что она подчиняется нормальному закону.

Опишем двухступенчатый процесс диффузии, проходящей по нормальному закону. Во время предварительного нанесения при температуре T₁ примеси наносятся на поверхность кремния. Затем следует диффузия при температуре Т₂, в процессе которой атомы примеси диффундируют по вакансиям в толщину пластины кремния. Интегрируя выражение (5) в интервале значений , получим

, (9)

где Ns - концентрация примеси на поверхности при температуре нанесения (атом/см³); D₁ - коэффициент диффузии при температуре нанесений; a t₁ - время нанесения в секундах. Считая, что D₁ и t₁ -параметр нанесения (загонки), а D₁ и D₂ - параметры диффузии (разгонки), можем переписать выражение (7) в виде

(10)

Эта формула справедлива при условии D₁t₁<<D₂t₂. Если это условие не выполняется, то нельзя считать, что на второй стадии диффузия идет из ограниченного источника. В этом случае для расчета профиля распределения примеси необходимо пользоваться выражением

(11)

где и

Значения интеграла в (11) приведены в таблице 3 (П1) для различных величин и .

3.2. Получение структур методом диффузии

Отличительная особенность диффузии в планарной технологии состоит в том, что примесь вводят в полупроводниковую пластину локально в ограниченные защитной маской окна, а сам процесс осуществляется в две стадии: предварительная загонка нужного количества примеси и последующая разгонка на требуемую глубину и до необходимого уровня концентрации. Важным технологическими факторами являются способы проведения диффузии и виды диффузантов.

Если диффузия идет из источника с ограниченным содержанием примеси, то профиль распределения концентрации описывается формулой (7). Глубина залегания p - n перехода в этом случае

(12)

где N_o– концентрация примеси в исходной пластине полупроводника,

– поверхностная концентрация примеси в момент времени t (t 0).

Учитывая, что поверхностная концентрация легирующей примеси, определяемая предельной растворимостью, как правило, на три - четыре порядка выше концентрации примеси в исходной пластине, глубину залегания перехода для практических случаев можно определять приближенной формулой

(13)

Если диффузия идет из источника с постоянной поверхностной концентрацией примесных атомов N_s, то распределение концентрации описывается соотношением (5). Если в этом выражении вместо erfc- функции использовать, аппроксимацию

,

то глубина залегания p - n перехода будет определяться как

(14)

После последовательной диффузии ряда примесей пластина полупроводника подвергается многократным циклам диффузии и для расчета профиля распределения следует использовать соотношение

Dt = D₁t₁ + D₂t₂ + …..

Электронно-дырочные переходы, полученные методом диффузии, обладают плавным распределением примеси, крутизна которого характеризуется градиентом концентрации а.

При проведений расчетов диффузионных структур приходится решать два типа задач: – прямую - определение профиля распределения концентрации примеси на основании заданного технологического режима;

– обратную - определение режима диффузии на основании требуемых параметров структуры.

Рассмотрим примеры решения конкретных задач.

Задача 1 (прямая). Распределение примеси при двухстадийной диффузии (случая бесконечно тонкого источника).

Стадия загонки осуществляется в течение короткого времени t₁ при температуре Т₁, которая задает коэффициент D₁ и поверхностную концентрацию N_s, определяемую предельной растворимостью примеси. Профиль распределения примеси при загонке определяется выражением (5), а для определения поверхностной плотности атомов примеси, введенной на этой стадии, следует выражение (5) проинтегрировать

(16)

Введенное количество примеси Q служит источником диффузанта при последующей разгонке при температуре Т₂ в течение времени t₂. Если при этой выполняется условие

D₁t₁<<D₂t₂, (17)

то форма распределения примеси на стадии загонки не влияет на профиль распределения после разгонки, т.к. глубина залегания этих распределений несопоставимы. В этом случае для определения профиля распределения при разгонке можно использовать выражение (7) для случая диффузии из бесконечного тонкого слоя в полуограниченное тело.

Приведем численный пример. Найти профиль распределения примеси и определить глубину залегания p-n перехода при двухстадийной диффузии фосфора в p-Si с удельным сопротивлением 10 Ом*см, проводимой в режиме: T1=1050⁰C, t1=10 мин, T2=1150⁰C, t2=2ч.

1. Определение Ns.Из рис.2 (П1) находим, что для Т=1050⁰С предельная растворимость фосфора в кремнии равна 1.2*10²¹см^-3. Это и есть Ns.

2. Определение D1. Из рис.3 (П1) для Т=1050⁰С находим D1=2.5*10^-14см²/c.

3. Вычисление Q. Используем формулу (16)

4. Определение D2. Из рис.3 (П1) для Т=1150⁰С находим D2=4*10^-13см²/с.

5. Проверка условия (17):

D1t1=1.5*10^-11см², D2t2=2,9*10^-9см².

Условие выполняется. Следовательно, слой, в котором сосредоточена примесь, можно считать тонким.

6. Определение профиля распределения. Воспользуемся выражением (7)

Профиль распределения после разгонки показан на рис.1 (П2). Для сравнения там же показан профиль распределения после загонки.

7. Определение глубины залегания p-n перехода. Предварительно находим концентрацию акцепторной примеси в пластине полупроводника. Из

следует, что

, где е – заряд носителя, p и - концентрация и подвижность дырок. Для кремния , следовательно,

Глубина залегания определяется по формуле (12)

Задача 2 (прямая). Распределение примеси при двухстадийной диффузии (слоя конечной толщины).

Если условие (17) не выполняется, то глубины залегания примеси на стадиях загонки и разгонки сравнимы, поэтому для нахождения профиля после стадии разгонки следует использовать решение уравнения Фика для диффузии из слоя конечной толщины (11)

, где

,

интеграл вычислен и протабулирован для различных и . Поверхностная концентрация после стадии разгонки

Рассмотрим численный пример. Построить профиль распределения примеси и определить глубину залегания p-n перехода в случае двухстадийной диффузии фосфора в кремния, проводимой в режиме:

Т1=1250⁰С, t1=10мин, Т2=1150°С, t2=2ч

1. Из 3(п.1) определим коэффициенты диффузии фосфора в кремний

D1=4*10^-12см²/с, D2=0,1*10^-13см²/с.

2. Проверим условие (17). Так как условие не выполняется (D1t1 D2t2), то следует использовать формулу (11).

3. Определим и

,

4. Определим поверхностную концентрацию посла загонки. Согласно рис 2 (п.1) при T1=1250⁰C, Ns=1,2*10²⁰см^-3.

5. Поверхностная концентрация после разгонки

6. П остроим профиль распределения, пользуясь табл.3 (П1) при =0.9 и вычисляя глубину (см) по формуле

6. Для сравнения построим профиль загонки

Оба профиля – после загонки 1 и после разгонки 2 – показаны на рис.2 (п.2).

8. Глубина залегания р-n перехода определяется по приближённой формуле (13)

Рассмотрим теперь обратные задачи, имеющие большое практическое значение. Решение обратной задачи приводит к определению произведения Dt. Выбор параметров Т и t определяют конкретные особенности технологического процесса и возможности оборудования. Обычно задаются температурой Т и по найденному значению D определял длительность диффузии t.

Задача 3 (обратная). Определение режимов диффузии на основании заданных параметров распределения примеси.

Если диффузия ведется из предварительно созданного тонкого слоя с ограниченным содержанием примеси, то произведение Dt можно определить из (7) или (12)

Теперь необходимо выбрать либо температуру, либо время. Задаем некоторое минимальное время процесса, а температуру определяют на основании вычисленного коэффициента диффузии.

Рассмотрим численные примеры.

Определить температуру разгонки мышьяка, предварительно внедренного с помощью ионной имплантации в кремнии с электропроводностью р-типа и удельным сопротивлением 1 Ом*см, если распределение должно обладать глубиной залегания p-n перехода x_j=0.5 мкм и поверхностной концентрацией Ns=1.5*10²⁰см^-3, а длительность процесса должна составлять 1 ч. Вычислить количество атомов мышьяка Q, которое должно быть внедрено в кремний.

1. Определяем с помощью рис.3 (П2) концентрацию примеси в исходной пластине. No=1.5*10¹⁶см^-3.

2. Определяем коэффициент диффузии из (12)

3. С помощью рис.3 (П1) определяем по найденному коэффициенту диффузии температуру: Т=1070⁰С.

4. Количество атомов мышьяка, внедренных на единице площади, определяем на основании выражения для поверхностной концентрации

где,

Еще пример. Определить режим одностадийной диффузии при тех же условиях, но с постоянной поверхностной концентрацией.

1. Распределение примеси описывается erfс-функцией (5),поэтому воспользуемся ее аппроксимацией и формулой (14), получим

Найденному коэффициенту диффузии соответствует температура Т=1080°С (рис.З. (П1)). При такой температуре предельная растворимость мышьяка в кремнии составляет 1.7*10²¹см/с^-3 (рис.2 (П1)), поэтому для диффузии следует использовать обедненный источник, чтобы получить Ns=1.5*10²⁰cм^-3.

Обратимся к двухстадийной диффузии. Решение обратной задачи проводят в два этапа. Вначале определяют параметры режима разгонки, а затем на основании полученных данных - режим загонки. Режим разгонки найдем, используя формулу (16)

Количество атомов примеси Q, которое надо ввести на стадии загонки определяется из формулы (7) при x=0

Исключив из этих выражений Q, получим

Отсюда видно, что для двухстадийной диффузии необходимо регулировать поверхностную концентрацию при загонке Ns, либо задавать температуру загонки Ti, определяющую параметры D1 и Ns, а время загонки

Рассчитывать по известным данным

Рассмотрим численный пример. Определить температуры и длительности процессов загонки и разгонки в случае двухстадийной диффузии бора в кремний с электропроводностью n-типа и удельным сопротивлением 10Ом*см, если искомое распределение примеси должно уметь следующие параметры:

1. Определяем концентрацию примеси в исходной пластине по формуле

2. Вычисляем произведение D2*t2

3. Задаем температуру разгонки Т2=1150°С. Согласно графику риc.5 (П1) коэффициент диффузии D2=7.2*10^-13см²/с, следовательно

t2=1.7*10^-9/D2=2.36*10³c=40 мин

4. Выберем температуру у загонки бора T1=1050°С, тогда Ns=3*10²⁰см^-3, рис.2 (П1), а

D1=6.9*10^-14см²/с, рис.5 (П1)

5. Длительность загонки

Такая длительность не может выть выдержана практически, поэтому следует вводить бор методом ионной имплантации или использовать обедненный источник.

6. Количество бора, которое необходимо ввести на стадии загонки

При использовании обеднённого источника диффузанта задают длительность загонки t1 и определяют произведение

7. Зададим t1=10мин, тогда

6. Зададим T=1050°C, тогда D=6.9*10^-14см²/с. Рис.5 (П1)