Десезонализация данных и сезонное прогнозирование
Десезонализацией данных временного ряда называется устранение влияния сезонной компоненты на его уровни с целью изучения тренда и долговременных циклических изменений. Десе-зонализированные данные (dt) определяются как отношение:
dt = yt / Iсез = T(t) S(t) Z(t) (t) / Iсез = T(t) Z(t) (t)
Процедура общей декомпозиции временного ряда
Процедуру общей декомпозиции временного ряда можно представить в виде совокупности следующих этапов:
Этап 1. Определение методом отношения к центрированной скользящей средней сезонного индекса Iсез для каждой части года. Для квартальных данных вычисления сводятся к нахождению четырех квартальных индексов I1, I2, I3 и I4 В случае месячных наблюдений определяется 12 индексов (I1, I2, ..., I12) (для каждого месяца свой индекс).
Этап 2. Десезонализация данных. Этот этап заключается в выравнивании эффекта сезонности, т.е. исключении сезонной компоненты. Десезонализация осуществляется делением каждого фактического уровня на соответствующий сезонный индекс:
dt = yt / Iсез
где: I1, I2, I3 и I4 - квартальные данные;
I1, I2, ..., I12 - месячные данные.
Этап 3. Определение тренда T(t). Оценка тренда осуществляется по методу наименьших квадратов на основе десезонализи-рованных данных dt.
dt = yt / Iсез = T(t) S(t) Z(t) (t) / Iсез = T(t) Z(t) (t)
Этап 4. Определение циклической компоненты Z(t). Эта компонента определяется делением каждой десезонализированной компоненты dt на соответствующее значение тренда, полученное на этапе 3:
dt/T(t) = T(t) Z(t) (t) / T(t) = Z(t) (t)
Для исключения нерегулярной компоненты можно вычислять, например, трехпериодные скользящие средние для величин Z(t) (t)/ В этом случае эффект нерегулярной компоненты значительно сокращается. Выбор именно трехлериодной скользящей средней был произволен/ Он был связан с тем, что в случае нечетного числа слагаемых скользящей суммы скользящие средние не надо центрировать.
Построение гармоник Фурье
Французский математик Фурье разработал механизм преобразования периодических функций в ряд тригонометрический уравнений, называемых гармониками. Этот метод подходит для аналитического выражения сезонных колебаний, имеющих сунусоидальную форму. Исходным рядом для преобразования Фурье лучше всего принять не первичный ряд за несколько лет, а уже усредненный ряд месячных уровней, в котором исключен тренд и (или) в основном погашены случайные колебания [стр. 107, афанасьев]. В качестве аналитической формы выравнивания во времени применить ряд Фурье.
m – число гармоник
k – номер гармоники
В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов. Получим формулы для вычисления параметров:
Параметры уравнения зависят от значений y и связанных с ним последовательных значений соs kt и sin kt.
Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять n=12 (по числу месяцев в году).