Действия над комплексными числами.
Число
,
где
называется
комплексным числом в алгебраической
форме. Оно изображается на комплексной
плоскости точкой М(a;b).
- чисто вещественное число (изображается
точкой, лежащей на оси ОХ),
- чисто мнимое число (изображается
точкой, лежащей на оси ОУ). Числа
и
называются взаимно сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
Пусть
.
Тогда:
1.
;
2.
;
3.
4.
;
5.
Если
,
,
то
.
Положение
точки
можно
определить с помощью полярных координат
.
Пользуясь формулами
, где
-
модуль числа z,
-
аргумент числа z, причем
,
комплексное число
можно представить в тригонометрической
форме:
.
С помощью формулы Эйлера
можно от тригонометрической формы
перейти к показательной:
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть
.
Тогда:
1.
2.
;
3.
- формула Муавра (n
– целое число);
4.
, n-целое
положительное, k=0,
1, 2,…n-1.
Функции
комплексного переменного. Пусть
-
комплексная переменная,
.
Тогда
1.
,
-
свойство периодичности;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
причем
;
;
;
;
8.
- логарифм (многозначная функция),
;
-
главное значение логарифма.
9.
.
-
объемная плотность распределения массы
тела в точке
Образец решения контрольной работы по темам «Двойные, тройные интегралы», «Комплексные числа и функции комплексного переменного».
Задание
1. Вычислить
повторный интеграл
Задание
2.
Вычислить
,
где D
– область, ограниченная прямыми x=2,
у=1, и кривой
.
Задание
3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
.
Задание
4. а)
Расставить пределы интегрирования в
тройном интеграле
,
где V
ограничена плоскостью z=1
и параболоидом
.
б) Вычислить данный интеграл.
Задание
5. а)
Вычислить криволинейный интеграл 1-го
рода
,
где С
– отрезок прямой
от А(0;
0) до В(4;
3). Или:
б)
Вычислить криволинейный интеграл 2-го
рода
.
Задание
6*. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
и
расположенного в 1-ом октанте.
7.
Вычислить все значения
.
8.
Выделить вещественную и мнимую часть
функции, подставив вместо z:
:
9.
Вычислить интеграл
где С- окружность радиуса 2 с центром в
точке 3i.
Образец выполнения контрольной работы
Задание 1. Вычислить повторный интеграл
Решение:
Вычислим внутренний интеграл в
предположении, что у – переменная,
х-const.
Тогда данный интеграл будет равен
Отв:
Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .
Решение: Изобразим область D, предварительно найдя точки пересечения линий:
Разобъем
данный интеграл на повторный
=
Отв:
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Р
Рис.6
.
Определим
координаты точек пересечения кривых:
,
.
Задание 4. а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .
б) Вычислить данный интеграл.
Рис 7.
Решение:
а)
Так
как тело проецируется на плоскость ХОУ
в область, ограниченную окружностью
,
то перейдем к цилиндрическим координатам
Уравнение
параболоида в цилиндрических координатах
примет вид
,
уравнение окружности в проекции на
плоскость ХОУ
.
Тогда
Пределы расставлены.
б)Рассмотрим продолжение задачи – вычисление данного интеграла:
Отв:
Задание 5.
а) Вычислить , где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3).
Решение:
.
б) Вычислить: .
Решение:
Проверим условие (*):
– оно выполняется.
Значит: 1) интеграл не зависит от пути интегрирования;
2) подынтегральное выражение является полным дифференциалом.
Решим задачу двумя способами:
1 способ. В качестве пути интегрирования выберем ломаную АВС, где АС
у
задается уравнениями у
= 1 (значит, dу
= 0),
3
•С
;
СВ:
х
= 2 (dx
= 0 ),
;
1
А•
•В
1 2 х
Тогда
.
Ответ: 26.
2
способ:
Найдем функцию U,
полным дифференциалом которой является
выражение
.
Пусть М0(0;
0) (она лежит в области определения
функций
и
).
Тогда
Ответ: 26.
Задание 6*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.
Решение: Данные уравнения определяют в пространстве следующие поверхности:
-
параболический цилиндр с образующими,
параллельными оси ОZ
и направляющей – параболой
на
плоскости ХОУ;
-
плоскость, проходящая через ось ОУ и
пересекающая плоскость XOZ
по прямой
;
-
плоскость, параллельная плоскости XOZ
и проходящая через прямую
;
-
плоскость XOY.
Таким образом, тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью , сбоку – параболическим цилиндром и плоскостью у=5, проекцией которого на плоскость ХОУ будет область D, ограниченная параболой и прямыми у=5 и х=0.
Тогда
Отв: 12(куб.ед).
Задание 7. Вычислить все значения .
Решение:
Перепишем число -8 в тригонометрической
форме
.
Тогда
.
При к=0,1, 2 получим:
k=0:
k=1:
k=2:
=
=
.
Ответ:
Задание 8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :
Решение:
Выделим вещественную и мнимую части
функции:
=
.
Получили:
.
Задание 8. Вычислить интеграл
где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.
Решение:
Функция
аналитична внутри круга
, ограниченного окружностью С,
.
Тогда по интегральной формуле Коши
получим
=
.
Ответ: .