4.2. Степенной метод.
Пусть требуется
найти максимальное по абсолютной
величине собственное значение матрицы
,
причем известно, что искомое собственное
значение простое
(кратности единица). Предположим, что
– матрица простой структуры и
.
Заметим, что при умножении матрицы на ее собственный вектор последний преобразуется в коллинеарный вектор , причем длина полученного при этом вектора изменяется пропорционально соответствующему собственному значению . Данное свойство собственных векторов лежит в основе степенного метода. Для матриц простой структуры система собственных векторов образует базис в пространстве , и любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов данного базиса.
Из последнего равенства следует, что в разложении по собственным векторам при умножении матрицы на вектор наибольший рост (наименьшее убывание) испытывает составляющая, соответствующая максимальному собственному значению. Рассмотрим последовательность
. (4.6)
Поскольку
то при
последовательность
сходится к собственному вектору
.
Компоненты вектора
,
соответствующие другим собственным
значениям стремятся к нулю со скоростью
геометрической прогрессии. Очевидно,
что скорость сходимости последовательности
определяется отношением
– знаменателем геометрической прогрессии
самой медленной из компонент
.
Заметим, что
асимптотика
определяется также значением
,
которое в пределе
стремиться к нулю или бесконечности, в
зависимости от величины
.
В силу этого для практического
использования итерационного процесса
(4.6) необходима нормировка промежуточных
результатов. В качестве нормировочного
коэффициента наиболее походящий выбор
– максимальная по абсолютной величине
координата вектора
:
. (4.7)
Использование итерационной процедуры (4.7) позволяет определить как собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению, так и величину данного собственного значения
, (4.8)
. (4.9)
После того как
наибольшее собственное значение
определено, данный подход может быть
использован для вычисление других
собственных значений и собственных
векторов. Например, для вычисления
наименьшего собственного значения и
соответствующего ему собственного
вектора процедуру (4.7)–(4.9) следует
применить к матрице
.
В соответствии со свойством сдвига
собственных значений, собственные
значения матриц
и
связаны соотношением
.
В илу этого наибольшее по абсолютной
величине собственное матрицы
:
.
Использование
свойства сдвига собственных значений
может оказаться очень полезным для
ускорения сходимости степенного метода,
когда собственные значения матрицы
и
близки по абсолютной величине.
К недостаткам степенного метода следует отнести тот факт, что он не может быть использован в случае, когда матрица имеет равные по модулю собственные значения. Итерационный процесс (4.7) в этом случае не сходится.
Упражнения.
1. Возможно ли с помощью степенного метода определить собственное значение действительной матрицы, если оно является комплексным?